Em um experimento de colisão, a bola A é lançada horizontalmente de uma base à 80 m de altura com 2 m / s. No mesmo instante, uma bola B é lançada verticalmente para cima com 25 m / s. Quais os valores para a distância de B à base para que a colisão ocorra e a altura em que a colisão ocorre, respectivamente?
Despreze a influência do ar e considere g=10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bolas sendo lançadas ao mesmo tempo:
  • Bola A: Lançada horizontalmente de uma base que está a 80 metros de altura, com uma velocidade de 2 m/s.
  • Bola B: Lançada verticalmente para cima a partir da base, com uma velocidade de 25 m/s.
Queremos descobrir duas coisas:
  1. A distância horizontal que a bola B precisa estar da base para que as duas bolas colidam.
  2. A altura em que essa colisão ocorre.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (MUV) e do movimento uniforme (MU), aplicando conceitos de cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Vamos considerar:
  • O eixo y como vertical, com y = 0 na base.
  • O eixo x como horizontal, com a direção positiva para a direita.
Assim, a posição inicial da Bola A é (x_A0, y_A0) = (0, 80 m), e da Bola B é (x_B0, y_B0) = (d, 0), onde d é a distância horizontal que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos analisar o movimento de cada bola separadamente.
Para a Bola A (movimento horizontal e vertical):
  • Movimento horizontal (MU): A Bola A tem velocidade constante, já que não há aceleração horizontal.
    xA(t) = xA0 + vAx cdot t
    Onde:
    • $ x_{A0} = 0 $ m
    • $ v_{Ax} = 2 $ m/s
  • Movimento vertical (MUV): A Bola A está sendo afetada pela gravidade.
    xA0 = 0
    Onde:
    • $ y_{A0} = 80 $ m
    • $ v_{Ay} = 0 $ m/s (já que é lançada horizontalmente)
    • $ g = 10 $ m/s²
Para a Bola B (movimento vertical):
  • Movimento vertical (MUV): vAx = 2 Onde:
    • $ y_{B0} = 0 $ m
    • $ v_{By} = 25 $ m/s
    • $ g = 10 $ m/s²
A Bola B também se move horizontalmente com velocidade constante:
yA(t) = yA0 + vAy cdot t - 12 g t^2
Já que não há força horizontal agindo sobre ela.

Passo 4

Para que ocorra a colisão, as posições das duas bolas devem ser iguais no mesmo instante de tempo t. Ou seja:
xA(t) = xB(t)
yA(t) = yB(t)
Vamos igualar as equações das posições:
  1. Igualando as posições horizontais:
0 + 2t = d
d = 2t (Equação 1) çã
  1. Igualando as posições verticais:
80 + 0 cdot t - 12 cdot 10 cdot t^2 = 0 + 25t - 12 cdot 10 cdot t^2
Simplificando:
80 = 25t
t = 8025 = 3,2 segundos (Equação 2) çã

Passo 5

Agora que temos o tempo t em que ocorre a colisão, podemos encontrar a distância d usando a Equação 1:
d = 2t = 2 times 3,2 = 6,4 metros
Então, a bola B deve estar a 6,4 metros da base para que a colisão ocorra.

Passo 6

Para encontrar a altura em que ocorre a colisão, podemos substituir o tempo t na equação da posição vertical de qualquer uma das bolas. Vamos usar a Bola A:
yA(t) = 80 - 12 times 10 times (3,2)^2
yA(t) = 80 - 5 times 10,24
yA(t) = 80 - 51,2 = 28,8 metros
Portanto, a colisão ocorre a uma altura de 28,8 metros acima da base.

Resposta

A colisão ocorre quando a bola B está a 6,4 metros da base e a uma altura de 28,8 metros.

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