Em um experimento de colisão, a bola A é lançada horizontalmente de uma base à 80 m de altura com 2
. No mesmo instante, uma bola B é lançada verticalmente para cima com
. Quais os valores para a distância de B à base para que a colisão ocorra e a altura em que a colisão ocorre, respectivamente?
Despreze a influência do ar e considere
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Despreze a influência do ar e considere
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bolas sendo lançadas ao mesmo tempo:
- Bola A: Lançada horizontalmente de uma base que está a 80 metros de altura, com uma velocidade de 2 m/s.
- Bola B: Lançada verticalmente para cima a partir da base, com uma velocidade de 25 m/s.
Queremos descobrir duas coisas:
- A distância horizontal que a bola B precisa estar da base para que as duas bolas colidam.
- A altura em que essa colisão ocorre.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (MUV) e do movimento uniforme (MU), aplicando conceitos de cinemática.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Vamos considerar:
- O eixo y como vertical, com y = 0 na base.
- O eixo x como horizontal, com a direção positiva para a direita.
Assim, a posição inicial da Bola A é (x_A0, y_A0) = (0, 80 m), e da Bola B é (x_B0, y_B0) = (d, 0), onde d é a distância horizontal que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos analisar o movimento de cada bola separadamente.
Para a Bola A (movimento horizontal e vertical):
-
Movimento horizontal (MU): A Bola A tem velocidade constante, já que não há aceleração horizontal.Onde:
- $ x_{A0} = 0 $ m
- $ v_{Ax} = 2 $ m/s
-
Movimento vertical (MUV): A Bola A está sendo afetada pela gravidade.Onde:
- $ y_{A0} = 80 $ m
- $ v_{Ay} = 0 $ m/s (já que é lançada horizontalmente)
- $ g = 10 $ m/s²
Para a Bola B (movimento vertical):
- Movimento vertical (MUV):
Onde: - $ y_{B0} = 0 $ m
- $ v_{By} = 25 $ m/s
- $ g = 10 $ m/s²
A Bola B também se move horizontalmente com velocidade constante:
Já que não há força horizontal agindo sobre ela.
Passo 4
Para que ocorra a colisão, as posições das duas bolas devem ser iguais no mesmo instante de tempo t. Ou seja:
Vamos igualar as equações das posições:
- Igualando as posições horizontais:
- Igualando as posições verticais:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o tempo t em que ocorre a colisão, podemos encontrar a distância d usando a Equação 1:
Então, a bola B deve estar a 6,4 metros da base para que a colisão ocorra.
Passo 6
Para encontrar a altura em que ocorre a colisão, podemos substituir o tempo t na equação da posição vertical de qualquer uma das bolas. Vamos usar a Bola A:
Portanto, a colisão ocorre a uma altura de 28,8 metros acima da base.
Resposta
A colisão ocorre quando a bola B está a 6,4 metros da base e a uma altura de 28,8 metros.