Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares (r, theta) :
Determine o diferencial d r (elemento de deslocamento) em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas polares! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o diferencial do vetor posição, ou seja, o elemento de deslocamento d r, usando coordenadas polares (r, theta). Para isso, vamos precisar entender como representar vetores em coordenadas polares e como calcular seus diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por (r, theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. O vetor posição r então pode ser escrito como:
r = r , er
Aqui, er é o vetor unitário na direção radial, ou seja, aponta na direção de r.

Passo 3

Agora, para encontrar o diferencial d r, precisamos calcular como o vetor posição muda quando variamos um pouquinho r e theta. Isso significa calcular a derivada de r em relação a r e theta:
d r = partial rpartial r dr + partial rpartial theta dtheta

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. A primeira derivada é:
partial rpartial r = er
Isso porque, ao aumentar r, o vetor posição aumenta na direção radial. Já a segunda derivada é:
partial rpartial theta = r , etheta
Aqui, etheta é o vetor unitário na direção angular, perpendicular a er. Isso ocorre porque, ao aumentar theta, o vetor posição gira ao redor da origem, criando um deslocamento na direção etheta.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão original do diferencial, temos:
d r = er , dr + r , etheta , dtheta
Isso significa que o elemento de deslocamento em coordenadas polares é composto por uma parte na direção radial, proporcional a dr, e outra na direção angular, proporcional a r , dtheta.

Resposta

Portanto, o diferencial do vetor posição em coordenadas polares é dado por:
d r = dr , er + r , dtheta , etheta

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