Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares
:
Determine o diferencial
(elemento de deslocamento) em coordenadas polares.
Determine o diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas polares! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o diferencial do vetor posição, ou seja, o elemento de deslocamento
, usando coordenadas polares
. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores em coordenadas polares e como calcular seus diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x. O vetor posição
então pode ser escrito como:
Aqui,
é o vetor unitário na direção radial, ou seja, aponta na direção de
.
Passo 3
Agora, para encontrar o diferencial
, precisamos calcular como o vetor posição muda quando variamos um pouquinho
e
. Isso significa calcular a derivada de
em relação a
e
:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. A primeira derivada é:
Isso porque, ao aumentar
, o vetor posição aumenta na direção radial. Já a segunda derivada é:
Aqui,
é o vetor unitário na direção angular, perpendicular a
. Isso ocorre porque, ao aumentar
, o vetor posição gira ao redor da origem, criando um deslocamento na direção
.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão original do diferencial, temos:
Isso significa que o elemento de deslocamento em coordenadas polares é composto por uma parte na direção radial, proporcional a
, e outra na direção angular, proporcional a
.
Resposta
Portanto, o diferencial do vetor posição em coordenadas polares é dado por: