Desenvolvendo familiaridade com coordenadas esféricas (r, theta, varphi), dadas por:
& r=+raizx^2+y^2+z^2 & theta=arccos (z / r) & varphi=arctan (y / x)
A partir da definição dos versores theta:=1r d rd theta e varphi:=1r sin theta d rd varphi, escreva theta e varphi em termos dos versores cartesianos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com coordenadas esféricas, que usam três parâmetros: $ r $ (distância do ponto até a origem), $ \theta $ (ângulo polar, medido a partir do eixo $ z $) e $ \varphi $ (ângulo azimutal, medido no plano $ xy $). A gente precisa encontrar os versores $ \hat{\theta} $ e $ \hat{\varphi} $ em termos dos versores cartesianos $ \hat{x} $, $ \hat{y} $ e $ \hat{z} $. Para isso, vamos usar as definições dadas e um pouco de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses versores $ \hat{\theta} $ e $ \hat{\varphi} $. Um versor é simplesmente um vetor unitário, ou seja, de comprimento 1, que indica direção. No caso das coordenadas esféricas, $ \hat{\theta} $ aponta na direção em que $ \theta $ aumenta, e $ \hat{\varphi} $ aponta na direção em que $ \varphi $ aumenta.

Passo 3

A definição de $ \hat{\theta} $ é:
theta
Vamos calcular a derivada de $ \vec{r} $ em relação a $ \theta $. Sabemos que em coordenadas esféricas, o vetor posição $ \vec{r} $ pode ser escrito como:
theta = 1r d rd theta
Derivando isso em relação a $ \theta $:
r

Passo 4

Agora, substituímos na definição de $ \hat{\theta} $:
theta
O $ r $ cancela, ficando:
theta = 1r ( r costheta cosvarphi , x + r costheta sinvarphi , y - r sintheta , z )

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo para $ \hat{\varphi} $. A definição é:
varphi
Primeiro, calculamos a derivada de $ \vec{r} $ em relação a $ \varphi $:
varphi = 1r sintheta d rd varphi
(Note que a derivada em relação a $ \varphi $ não afeta o componente $ \hat{z} $).

Passo 6

Substituindo na definição de $ \hat{\varphi} $:
varphi
Aqui, o $ r \sin\theta $ também cancela:
varphi = 1r sintheta ( -r sintheta sinvarphi , x + r sintheta cosvarphi , y )

Resposta

Portanto, os versores em termos dos versores cartesianos são:
boxed theta &= costheta cosvarphi , x + costheta sinvarphi , y - sintheta , z varphi &= -sinvarphi , x + cosvarphi , y

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