Desenvolvendo familiaridade com coordenadas esféricas
, dadas por:
A partir da definição dos versores
e
, escreva
e
em termos dos versores cartesianos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com coordenadas esféricas, que usam três parâmetros: $ r $ (distância do ponto até a origem), $ \theta $ (ângulo polar, medido a partir do eixo $ z $) e $ \varphi $ (ângulo azimutal, medido no plano $ xy $). A gente precisa encontrar os versores $ \hat{\theta} $ e $ \hat{\varphi} $ em termos dos versores cartesianos $ \hat{x} $, $ \hat{y} $ e $ \hat{z} $. Para isso, vamos usar as definições dadas e um pouco de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses versores $ \hat{\theta} $ e $ \hat{\varphi} $. Um versor é simplesmente um vetor unitário, ou seja, de comprimento 1, que indica direção. No caso das coordenadas esféricas, $ \hat{\theta} $ aponta na direção em que $ \theta $ aumenta, e $ \hat{\varphi} $ aponta na direção em que $ \varphi $ aumenta.
Passo 3
A definição de $ \hat{\theta} $ é:
Vamos calcular a derivada de $ \vec{r} $ em relação a $ \theta $. Sabemos que em coordenadas esféricas, o vetor posição $ \vec{r} $ pode ser escrito como:
Derivando isso em relação a $ \theta $:
Passo 4
Agora, substituímos na definição de $ \hat{\theta} $:
O $ r $ cancela, ficando:
Passo 5
Agora vamos fazer o mesmo para $ \hat{\varphi} $. A definição é:
Primeiro, calculamos a derivada de $ \vec{r} $ em relação a $ \varphi $:
(Note que a derivada em relação a $ \varphi $ não afeta o componente $ \hat{z} $).
Passo 6
Substituindo na definição de $ \hat{\varphi} $:
Aqui, o $ r \sin\theta $ também cancela:
Resposta
Portanto, os versores em termos dos versores cartesianos são: