Em um experimento, um cone, com base de raio
e altura
, é posto na vertical com base aberta e voltada para cima. Inicialmente (
) ele está preenchido totalmente com um líquido muito volátil. O líquido evapora a uma taxa proporcional a sua superfície. Mostre que o volume
satisfaz à equação
sendo
,
o coeficiente superficial de evaporação e
o volume inicial. Quanto tempo leva para o cone ficar totalmente vazio?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
- Um cone de base de raio
e altura está com a base aberta para cima e inicialmente, em , está totalmente cheio de líquido. - O líquido evapora a uma taxa proporcional à sua superfície exposta (coeficiente de proporcionalidade superficial igual a
). - O volume inicial é
(volume do cone cheio).
As perguntas são:
- Mostrar que o volume
satisfaz a equação e obter a expressão de em termos dos parâmetros do problema. - Determinar quanto tempo leva para o cone ficar totalmente vazio.
Passo 2
Relação geométrica entre o nível do líquido e o volume (aula rápida de geometria aplicada).
- Seja
a altura do líquido medida a partir do vértice do cone (ou seja, quando o cone está cheio , quando vazio ). - Por semelhança de triângulos entre o triângulo gerado pela base do cone e o triângulo formado pelo nível do líquido vale
onde
é o raio da superfície livre do líquido no instante
. Logo
- O volume do cone de altura
e raio é (fórmula do volume de um cone)
Substituindo
obtemos
Isto é uma relação entre
e
. Em palavras:
é proporcional a
.
Passo 3
Expressar a área superficial exposta (a superfície pela qual evapora) em função de
.
- A superfície exposta é o disco superior de raio
, então sua área é
- Usando
e a expressão de em função de : da relação do passo anterior isolamos :
Logo
- Assim
Fazendo as potências e simplificando (passo a passo):
portanto
Passo 4
Montar a equação diferencial usando a lei de evaporação (aula rápida de modelagem).
- A declaração “evapora a uma taxa proporcional à sua superfície” significa que a velocidade de variação do volume é
onde
é o coeficiente de evaporação superficial (unidade: volume por área por tempo). Substituindo
do passo anterior:
- Definindo a constante
como o coeficiente que multiplica , obtemos a forma desejada
com
- Podemos também expressar
em termos de . Como o volume inicial do cone cheio é
temos
. Substituindo em
e simplificando chega-se à forma
(este é o mesmo
escrito de forma prática com
). Observação rápida: esta expressão é equivalente à anterior usando
.
Passo 5
Resolver a EDO separável e obter
(aula rápida de resolução de EDOs).
- A equação
é separável. Escreve-se
- Integramos dos instantes iniciais até um instante arbitrário
, usando condição inicial :
- A integral no lado esquerdo é direta:
. Assim
- Isolando
:
portanto
válido enquanto o parêntese for não negativo.
Passo 6
Tempo até o cone ficar totalmente vazio (interpretação física + cálculo final).
- O cone fica vazio quando
. Pela expressão acima isso ocorre quando o parêntese zera:
- Assim o tempo de esvaziamento é
- Substituindo a expressão de
(forma com ) obtemos
- Usando
reaparecem cancelamentos muito simples e elegantes:
Interpretação física curta: a altura do líquido
satisfaz
(pode-se ver diferenciando
e comparando com a lei de evaporação), isto é, a altura desce com velocidade constante
, então levará tempo
para descer de
até
.