Em um experimento, um cone, com base de raio R e altura h, é posto na vertical com base aberta e voltada para cima. Inicialmente ( t=0 ) ele está preenchido totalmente com um líquido muito volátil. O líquido evapora a uma taxa proporcional a sua superfície. Mostre que o volume V(t) satisfaz à equação
d V / d t=-\alpha V^{2 / 3}
sendo \alpha=\pi \beta R^{2}\left(3 V_{0}\right)^{-2 / 3}, \beta o coeficiente superficial de evaporação e V_{0} o volume inicial. Quanto tempo leva para o cone ficar totalmente vazio?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
  • Um cone de base de raio R e altura h está com a base aberta para cima e inicialmente, em t=0, está totalmente cheio de líquido.
  • O líquido evapora a uma taxa proporcional à sua superfície exposta (coeficiente de proporcionalidade superficial igual a \beta).
  • O volume inicial é V_0 (volume do cone cheio).
    As perguntas são:
  1. Mostrar que o volume V(t) satisfaz a equação \dfrac{dV}{dt}=-\alpha V^{2/3} e obter a expressão de \alpha em termos dos parâmetros do problema.
  2. Determinar quanto tempo leva para o cone ficar totalmente vazio.

Passo 2

Relação geométrica entre o nível do líquido e o volume (aula rápida de geometria aplicada).
  • Seja x(t) a altura do líquido medida a partir do vértice do cone (ou seja, quando o cone está cheio x=h, quando vazio x=0).
  • Por semelhança de triângulos entre o triângulo gerado pela base do cone e o triângulo formado pelo nível do líquido vale
\frac{r}{x}=\frac{R}{h},
onde r(t) é o raio da superfície livre do líquido no instante t. Logo
r=\frac{R}{h}\,x.
  • O volume do cone de altura x e raio r é (fórmula do volume de um cone)
V=\frac{1}{3}\pi r^{2} x.
Substituindo r=(R/h)x obtemos
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{R^{2}}{h^{2}}\right)x^{3}.
Isto é uma relação entre V e x. Em palavras: V é proporcional a x^{3}.

Passo 3

Expressar a área superficial exposta (a superfície pela qual evapora) em função de V.
  • A superfície exposta é o disco superior de raio r, então sua área é
S=\pi r^{2}.
  • Usando r=(R/h)x e a expressão de x em função de V: da relação do passo anterior isolamos x^{3}:
x^{3}=\frac{3h^{2}}{\pi R^{2}}\,V.
Logo
x^{2}=\bigg(\frac{3h^{2}}{\pi R^{2}}\,V\bigg)^{2/3}.
  • Assim
r^{2}=\left(\frac{R^{2}}{h^{2}}\right)x^{2} = \left(\frac{R^{2}}{h^{2}}\right)\left(\frac{3h^{2}}{\pi R^{2}}\,V\right)^{2/3}.
Fazendo as potências e simplificando (passo a passo):
r^{2} = \frac{3^{2/3}}{\pi^{2/3}}\,R^{2/3}\,h^{-2/3}\,V^{2/3},
portanto
S=\pi r^{2}=\;3^{2/3}\pi^{1/3} R^{2/3} h^{-2/3}\,V^{2/3}.

Passo 4

Montar a equação diferencial usando a lei de evaporação (aula rápida de modelagem).
  • A declaração “evapora a uma taxa proporcional à sua superfície” significa que a velocidade de variação do volume é
\frac{dV}{dt}=-\beta S,
onde \beta>0 é o coeficiente de evaporação superficial (unidade: volume por área por tempo). Substituindo S do passo anterior:
\frac{dV}{dt}=-\beta\;\bigl(3^{2/3}\pi^{1/3} R^{2/3} h^{-2/3}\bigr)\;V^{2/3}.
  • Definindo a constante \alpha como o coeficiente que multiplica V^{2/3}, obtemos a forma desejada
\frac{dV}{dt}=-\alpha\,V^{2/3},
com
\alpha=\beta\;3^{2/3}\pi^{1/3} R^{2/3} h^{-2/3}.
  • Podemos também expressar \alpha em termos de V_0. Como o volume inicial do cone cheio é
V_{0}=\frac{1}{3}\pi R^{2} h,
temos h=\dfrac{3V_{0}}{\pi R^{2}}. Substituindo em \alpha e simplificando chega-se à forma
\alpha=\pi\beta R^{2}V_{0}^{-2/3}.
(este é o mesmo \alpha escrito de forma prática com V_0). Observação rápida: esta expressão é equivalente à anterior usando V_0=(1/3)\pi R^2 h.

Passo 5

Resolver a EDO separável e obter V(t) (aula rápida de resolução de EDOs).
  • A equação
\frac{dV}{dt}=-\alpha V^{2/3}
é separável. Escreve-se
V^{-2/3}\,dV=-\alpha\,dt.
  • Integramos dos instantes iniciais até um instante arbitrário t, usando condição inicial V(0)=V_0:
\int_{V_0}^{V(t)} V^{-2/3}\,dV = -\alpha\int_{0}^{t} dt.
  • A integral no lado esquerdo é direta: \displaystyle \int V^{-2/3}\,dV = 3 V^{1/3}. Assim
3\bigl(V(t)^{1/3}-V_0^{1/3}\bigr) = -\alpha t.
  • Isolando V(t):
V(t)^{1/3}=V_0^{1/3}-\frac{\alpha}{3}\,t,
portanto
V(t)=\Biggl(V_0^{1/3}-\frac{\alpha}{3}\,t\Biggr)^{3},
válido enquanto o parêntese for não negativo.

Passo 6

Tempo até o cone ficar totalmente vazio (interpretação física + cálculo final).
  • O cone fica vazio quando V(t)=0. Pela expressão acima isso ocorre quando o parêntese zera:
V_0^{1/3}-\frac{\alpha}{3}\,T=0.
  • Assim o tempo de esvaziamento é
T=\frac{3\,V_0^{1/3}}{\alpha}.
  • Substituindo a expressão de \alpha=\pi\beta R^{2}V_{0}^{-2/3} (forma com V_0) obtemos
T=\frac{3\,V_0^{1/3}}{\pi\beta R^{2}V_{0}^{-2/3}} = \frac{3V_0}{\pi\beta R^{2}}.
  • Usando V_0=\dfrac{1}{3}\pi R^{2} h reaparecem cancelamentos muito simples e elegantes:
T=\frac{3\cdot\bigl(\tfrac{1}{3}\pi R^{2}h\bigr)}{\pi\beta R^{2}}=\frac{h}{\beta}.
Interpretação física curta: a altura do líquido x(t) satisfaz dx/dt=-\beta (pode-se ver diferenciando V=(1/3)\pi(R^{2}/h^{2})x^{3} e comparando com a lei de evaporação), isto é, a altura desce com velocidade constante \beta, então levará tempo h/\beta para descer de h até 0.

Resposta

\dfrac{dV}{dt}=-\alpha V^{2/3},\quad \alpha=\pi\beta R^{2}V_{0}^{-2/3}=\beta\,3^{2/3}\pi^{1/3}R^{2/3}h^{-2/3}.
T=\dfrac{h}{\beta}.

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