39{ }^{\text {a }} Questão

Duas fontes puntiformes, F_{1} e F_{2}, separadas por uma distância d, emitem ondas esféricas em um meio homogêneo e isotrópico. A potência de F_{1} é P_{1} e a de F_{2} é P_{2}. Suponha que o meio não absorva energia. Em um ponto Q, situado entre as duas fontes sobre a linha que as une, as intensidades das duas ondas são iguais. Assinale a alternativa que contém a distância do ponto Q à fonte de potência P_{2}, em função de d, se P_{1}=4 P_{2}.
(A) \frac{4 d}{5}
(B) \frac{d}{5}
(C) \frac{2 d}{3}
(D) \frac{d}{3}
(E) \frac{3 d}{5}
Simulado 5 ASON/M - Curso Mauá

Passo 1

O enunciado dá duas fontes puntiformes F_1 e F_2 separadas por uma distância d. As potências são P_1 e P_2, e foi informado que P_1=4P_2. O ponto Q está entre as duas fontes, sobre a linha que as une, e em Q as intensidades das ondas provenientes de F_1 e F_2 são iguais. A pergunta pede a distância de Q até a fonte de potência P_2 em função de d.
Informações relevantes listadas:
  • Distância entre as fontes: d.
  • Potências: P_1=4P_2.
  • Q está entre as fontes; vamos chamar de x a distância de Q até F_2 (é isso que nos pedem).
  • Portanto a distância de Q até F_1 é d-x.
  • Em Q, as intensidades das duas ondas são iguais.

Passo 2

Relembrando a lei de intensidade para fontes puntiformes (aqui é a parte conceitual importante): a potência emitida por uma fonte puntiforme espalha-se uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r. A área dessa esfera é 4\pi r^2. Então a intensidade (potência por unidade de área) a uma distância r da fonte vale
I=\frac{P}{4\pi r^2},
onde P é a potência da fonte e r a distância até o ponto onde se mede a intensidade. Aqui I tem unidades de potência por área, mas não precisamos delas para resolver a questão — só precisamos da dependência I\propto \dfrac{P}{r^2}. Nota: o fator 4\pi é igual para ambas as fontes e cancelará quando fizermos a igualdade.

Passo 3

Como em Q as intensidades das duas ondas são iguais, escrevemos a igualdade entre as intensidades vindas de F_1 e F_2. Usando a expressão da intensidade:
\frac{P_1}{4\pi (d-x)^2}=\frac{P_2}{4\pi x^2}.
O 4\pi cancela dos dois lados, ficando
\frac{P_1}{(d-x)^2}=\frac{P_2}{x^2}.

Passo 4

Substituímos P_1=4P_2 na igualdade:
\frac{4P_2}{(d-x)^2}=\frac{P_2}{x^2}.
Agora cancelamos P_2 (assumindo P_2\neq0), obtendo
\frac{4}{(d-x)^2}=\frac{1}{x^2}.
Isto implica
4x^2=(d-x)^2.

Passo 5

Desenvolvemos e resolvemos para x. Primeiro note que podemos tirar raiz positiva porque x>0 e d-x>0 (já que Q está entre as fontes). Tomando raiz positiva da relação 4x^2=(d-x)^2
2x=d-x.
Somando x dos dois lados:
3x=d.
Logo
x=\frac{d}{3}.
Isto faz sentido fisicamente: como F_1 é mais potente ( 4 vezes maior), o ponto onde as intensidades se igualam fica mais perto da fonte menos potente F_2.

Passo 6

Verificação rápida por substituição: se x=\dfrac{d}{3} então d-x=\dfrac{2d}{3}. As intensidades são proporcionais a P/r^2, então compara-se P_1/(2d/3)^2 com P_2/(d/3)^2. Calculando razões:
\frac{P_1}{(2d/3)^2} \Big/ \frac{P_2}{(d/3)^2} = \frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{(d/3)^2}{(2d/3)^2} =4\cdot\frac{1}{4}=1,
confirmando que as intensidades são iguais.

Resposta

\dfrac{d}{3}

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