Em um laboratório de Física, estudantes observam uma partícula de massa m que se move horizontalmente com uma lei horária dada por x(t)=a t^{2}, onde a>0 é constante. A partícula parte do repouso em x=0 quando t=0, e não há outras forças atuando além da força externa responsável por esse movimento. Para completar o relatório experimental, o grupo precisa determinar completamente o movimento e a causa física:
a. Encontre a força \vec{F} responsável pelo movimento.
b. Determine a velocidade v(t) em função do tempo.
c. Calcule a aceleração A(t) em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que temos e do que é solicitado):
  • Dado: a lei horária da partícula é x(t)=a\,t^{2}, com a>0 constante.
  • Condições iniciais: a partícula parte do repouso em x=0 quando t=0. Ou seja, x(0)=0 e v(0)=0.
  • Não há outras forças atuando além da força externa responsável por esse movimento (logo a força indicada é a força resultante).
  • O enunciado pede:
    a. Encontrar a força \vec{F} responsável pelo movimento.
    b. Determinar a velocidade v(t) em função do tempo.
    c. Calcular a aceleração A(t) em função do tempo.

Passo 2

Entendendo como obter velocidade a partir da posição (pequulaula sobre derivadas).
  • Definição física: a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, é a derivada temporal da função posição.
  • Regra prática de derivação que vamos usar: para um monômio t^{n},
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
  • Aplicando isso à posição x(t)=a\,t^{2}. Aqui a é uma constante multiplicativa (ficará como fator ao derivar). Então a velocidade é
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{2}\bigr)=a\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=a\cdot 2t=2a\,t.
  • Comentário sobre unidades e sentido: se x está em metros e t em segundos, então a tem unidades de \mathrm{m/s^{2}} e v(t) tem unidades \mathrm{m/s}. Avaliando na condição inicial, v(0)=2a\cdot 0=0, compatível com o enunciado (partiu do repouso).

Passo 3

Aceleracão como derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição).
  • Física: a aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Matemáticamente, A(t)=dv/dt e também A(t)=d^{2}x/dt^{2}.
  • Derivando a velocidade encontrada v(t)=2a\,t:
A(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(2a\,t\bigr)=2a\cdot\frac{d}{dt}(t)=2a.
  • Resultado: a aceleração é constante (independe de t) e igual a 2a. Em termos de unidades, 2a tem unidades de \mathrm{m/s^{2}}.
  • Observação útil para prova: quando a posição é proporcional a t^{2} a aceleração costuma ser constante — esse é um padrão que vale a pena lembrar.

Passo 4

Ligando aceleração à força: lei de Newton (a “causa física”).
  • Princípio usado: a segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre uma massa m produz aceleração \vec{A} segundo
\vec{F}_{\text{resultante}}=m\,\vec{A}.
  • Aqui não há outras forças além da força externa responsável pelo movimento, então essa força é exatamente a força resultante.
  • Como o movimento é retilíneo horizontal ao longo do eixo x, a aceleração está na direção positiva de x. Tomando o versor unitário nessa direção como \hat{\mathbf{x}}, a força é
\vec{F}=m\,\bigl(2a\bigr)\,\hat{\mathbf{x}}=2m a\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Conclusão física: a força responsável é constante no tempo, aponta no sentido positivo do eixo x e tem módulo 2ma (em newtons se usar SI).

Passo 5

Verificação alternativa integrando aceleração (bom para a prova: como checar consistência).
  • Se partirmos de A(t)=2a constante, podemos integrar para obter v(t):
v(t)=\int A(t)\,dt=\int 2a\,dt=2a\,t+C_{1}.
Usando v(0)=0 obtém-se C_{1}=0, então v(t)=2a\,t, que coincide com o cálculo direto.
  • Integrando novamente para obter x(t):
x(t)=\int v(t)\,dt=\int 2a\,t\,dt=2a\cdot\frac{t^{2}}{2}+C_{2}=a\,t^{2}+C_{2}.
Usando x(0)=0 C_{2}=0, recuperando x(t)=a\,t^{2}. Isso mostra consistência entre as três grandezas e como usar condições iniciais para fixar constantes de integração — técnica útil na prova.

Passo 6

Resumo final e dica rápida para a prova (ânimo).
  • Resultado: aceleração constante, força constante; tudo é bem direto se souber derivar e aplicar \vec{F}=m\vec{A}.
  • Dica: em questões parecidas, verificar sempre unidades e as condições iniciais para determinar constantes de integração. Vai dar certo — confia!

Resposta

\vec{F}=2m a\,\hat{\mathbf{x}}
v(t)=2a\,t
A(t)=2a

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