Em um experimento de corda vibrante em que um peso de massa m é pendurado em uma extremidade de uma corda após passar por uma roldana e um motor é utilizado para excitar periodicamente a outra extremidade da corda, exatamente conforme realizado em sala de aula. Considerando que a corda utilizada tem 150 cm de comprimento, a condição de ressonância foi observada para os números de nós da tabela abaixo, nas frequências e massa penduradas da tabela. Determine a densidade linear média da corda utilizada. Faça os gráficos necessários para chegar a esse valor.
Nro de nós
3
3
3
4
4
4
5
5
5
Massa (\mathrm{g})
25
50
75
25
50
75
25
50
75
Frequencia (\mathrm{Hz})
13.5
19.0
23.4
20.2
28.6
35.0
27.0
38.1
46.7
Passo 1
O experimento consiste numa corda de comprimento L=1{,}50\\ \mathrm m sob tensão T = m g, onde m é a massa pendurada e g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Observou-se ressonância para diferentes números de nós N, massas m e frequências f. Vamos usar a teoria de ondas estacionárias em corda fixa nas duas extremidades, em que a relação entre velocidade de onda v, tensão e densidade linear \mu é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
e o comprimento de onda \lambda em função de N é
\lambda = \frac{2L}{\,N-1\,}\,.
Daí decorre
v = \lambda f \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{v}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{m g}{\mu}} = \sqrt{\frac{g}{\mu}}\;\frac{\sqrt{m}}{\lambda}\,.
Para achar \mu graficamente, vamos definir
x = \frac{\sqrt{m}}{\lambda}, \quad y = f,
de modo que
y = \underbrace{\sqrt{\frac{g}{\mu}}}_{\displaystyle a}\;x.
O coeficiente angular a é \sqrt{g/\mu}, então \mu = g/a^2.
Passo 2
Calcular \lambda para cada N:
para N=3:
\lambda_3 = \frac{2L}{3-1} = \frac{2\cdot1{,}50}{2} = 1{,}50\\ \mathrm m,
para N=4:
\lambda_4 = \frac{2\cdot1{,}50}{4-1} = 1{,}00\\ \mathrm m,
para N=5:
\lambda_5 = \frac{2\cdot1{,}50}{5-1} = 0{,}75\\ \mathrm m.
Passo 3
Montar a tabela de x = \sqrt{m}/\lambda e y=f. Para cada massa m em kg (ex.: 25\\ \mathrm g=0{,}025\\ \mathrm{kg}), calcula-se \sqrt{m} e divide-se por \lambda. Os resultados são: