Em um experimento de corda vibrante em que um peso de massa m é pendurado em uma extremidade de uma corda após passar por uma roldana e um motor é utilizado para excitar periodicamente a outra extremidade da corda, exatamente conforme realizado em sala de aula. Considerando que a corda utilizada tem 150 cm de comprimento, a condição de ressonância foi observada para os números de nós da tabela abaixo, nas frequências e massa penduradas da tabela. Determine a densidade linear média da corda utilizada. Faça os gráficos necessários para chegar a esse valor.
Nro de nós 3 3 3 4 4 4 5 5 5
Massa (\mathrm{g}) 25 50 75 25 50 75 25 50 75
Frequencia (\mathrm{Hz}) 13.5 19.0 23.4 20.2 28.6 35.0 27.0 38.1 46.7

Passo 1

O experimento consiste numa corda de comprimento L=1{,}50\\ \mathrm m sob tensão T = m g, onde m é a massa pendurada e g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Observou-se ressonância para diferentes números de nós N, massas m e frequências f. Vamos usar a teoria de ondas estacionárias em corda fixa nas duas extremidades, em que a relação entre velocidade de onda v, tensão e densidade linear \mu é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
e o comprimento de onda \lambda em função de N é
\lambda = \frac{2L}{\,N-1\,}\,.
Daí decorre
v = \lambda f \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{v}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{m g}{\mu}} = \sqrt{\frac{g}{\mu}}\;\frac{\sqrt{m}}{\lambda}\,.
Para achar \mu graficamente, vamos definir
x = \frac{\sqrt{m}}{\lambda}, \quad y = f,
de modo que
y = \underbrace{\sqrt{\frac{g}{\mu}}}_{\displaystyle a}\;x.
O coeficiente angular a é \sqrt{g/\mu}, então \mu = g/a^2.

Passo 2

Calcular \lambda para cada N:
para N=3:
\lambda_3 = \frac{2L}{3-1} = \frac{2\cdot1{,}50}{2} = 1{,}50\\ \mathrm m,
para N=4:
\lambda_4 = \frac{2\cdot1{,}50}{4-1} = 1{,}00\\ \mathrm m,
para N=5:
\lambda_5 = \frac{2\cdot1{,}50}{5-1} = 0{,}75\\ \mathrm m.

Passo 3

Montar a tabela de x = \sqrt{m}/\lambda e y=f. Para cada massa m em kg (ex.: 25\\ \mathrm g=0{,}025\\ \mathrm{kg}), calcula-se \sqrt{m} e divide-se por \lambda. Os resultados são:
\begin{array}{c|c|c|c} N\text{ nós}&m\\ (\mathrm{kg})&x=\dfrac{\sqrt{m}}{\lambda}\\ (\mathrm{kg^{1/2}/m})&y=f\\ (\mathrm{Hz})\\hline 3&0{,}025&0{,}1054&13{,}5\\\\ 3&0{,}050&0{,}1491&19{,}0\\\\ 3&0{,}075&0{,}1826&23{,}4\\\\ 4&0{,}025&0{,}1581&20{,}2\\\\ 4&0{,}050&0{,}2236&28{,}6\\\\ 4&0{,}075&0{,}2739&35{,}0\\\\ 5&0{,}025&0{,}2108&27{,}0\\\\ 5&0{,}050&0{,}2981&38{,}1\\\\ 5&0{,}075&0{,}3652&46{,}7 \end{array}ó

Passo 4

Fazer o ajuste linear pelo método dos mínimos quadrados forçando y=a\,x. Calcula-se
a = \frac{\sum_i x_i\,y_i}{\sum_i x_i^2} \approx \frac{61{,}803}{0{,}4834} \approx127{,}9\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Como a = \sqrt{g/\mu}, temos
\mu = \frac{g}{a^2} = \frac{9{,}8}{(127{,}9)^2} \approx6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/m}.

Resposta

A densidade linear média da corda é aproximadamente
\boxed{\mu = 6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/m}}.

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