Imagine um experimento para o estudo de aceleração angular como o utilizado em aula. Um disco pintado de preto pela metade é utilizado em conjunto com um sensor óptico (emissor e receptor) para registrar cada meia revolução ( \theta=\pi ) do disco que está girando devido a uma corda a ele amarrada a uma polia de raio r_{1} em uma extremidade e a um peso de massa m_{l} na outra extremidade. O disco pintado (cuja massa é desprezível) gira simultaneamente com 2 outros discos de massa (individual) m_{2} e raio r_{2}. A tabela abaixo dá a diferença de tempo entre dois pontos consecutivos, obtidos a partir de meia rotação do disco, da mesma forma feita no experimento em aula. Considere m_{1}=100 \mathrm{~g}, r_{1}=20 \mathrm{~mm}, m_{2}=600 \mathrm{~g}. Qual o valor de r_{2} ? Faça o gráfico necessário para se determinar o momento de inércia do conjunto de discos.
Ponto 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tempo (s) 1.96 0.81 0.62 0.53 0.46 0.42 0.39 0.36 0.34

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de aceleração angular em que uma massa pendente m_1=100 g puxa, via corda e polia de raio r_1=20 mm, um conjunto de três discos: um disco pintado (massa desprezível) que aciona o sensor e dois discos idênticos de massa m_2=600 g e raio r_2 (desconhecido). Mediram-se os tempos de cada meia-rotação \Delta\theta=\pi. Precisamos (1) extrair a aceleração angular \alpha pelo gráfico de \varphi versus t^2, (2) calcular o momento de inércia total I e (3) obter r_2 sabendo que I= m_2\,r_2^2.

Passo 2

Monte a tabela de número de meias-rotações N, tempos parciais \Delta t_N, tempos acumulados
t_N=\sum_{k=1}^N\Delta t_k
e ângulo total
\varphi_N = N\,\pi.
Usando os dados:
\begin{array}{c|ccccccccc} N &1&2&3&4&5&6&7&8&9\\hline \Delta t_N\text{ (s)}&1,96&0,81&0,62&0,53&0,46&0,42&0,39&0,36&0,34\\\ t_N\text{ (s)}&1,96&2,77&3,39&3,92&4,38&4,80&5,19&5,55&5,89\\\ \varphi_N\text{ (rad)}&\pi&2\pi&3\pi&4\pi&5\pi&6\pi&7\pi&8\pi&9\pi \end{array}

Passo 3

Faça o gráfico de \varphi_N versus t_N^2. Como
\varphi=\tfrac12\,\alpha\,t^2,
esperamos uma reta passando pela origem com inclinação
k = \frac{\alpha}{2}.
Calculando para cada par (\varphi_N,t_N^2) o quociente \varphi_N/t_N^2 e tirando a média, obtém-se
k\approx0,818\quad\Longrightarrow\quad\alpha=2k\approx1{,}635\;\mathrm{rad/s^2}.

Passo 4

Use as equações de Newton (translação da massa e rotação do conjunto):
m_1 g - T = m_1 a,\quad T\,r_1 = I\,\alpha,\quad a=\alpha\,r_1.
Dessas resulta
\alpha = \frac{m_1 g\,r_1}{\,I + m_1 r_1^2\,} \;\;\Longrightarrow\;\; I = \frac{m_1 g\,r_1}{\alpha} \;-\; m_1\,r_1^2.
Substituindo m_1=0{,}1 kg, g=9{,}8 m/ s^{2}, r_1=0{,}02 m e \alpha=1{,}635 rad/ s^{2}, obtém-se
I\approx0{,}0120\;\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 5

O momento de inércia do par de discos é
I = 2\;\bigl(\tfrac12\,m_2\,r_2^2\bigr) = m_2\,r_2^2.
Logo
r_2 = \sqrt{\frac{I}{m_2}} = \sqrt{\frac{0{,}0120}{0{,}6}} \approx0{,}14\;\mathrm{m}.

Resposta

r_2 \approx 0,14\;\mathrm{m}

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