Em um experimento para diferenciar o urânio radioativo do urânio comum, ambos são colocados em um espectrômetro de massa. Um átomo de cada uma das duas amostras é lançado com mesma velocidade em uma região de campo magnético sendo que de ambos os átomos foi arrancado um elétron. a) Derive uma expressão para a diferença de raio de curvatura entre o átomo radioativo e o comum. b) Um mol de urânio radioativo tem massa de 235 g enquanto o uranio comum tem 238g. Se
e o campo magnético máximo do equipamento é
, calcule qual deve ser a velocidade mínima de entrada na região de campo magnético para que a diferença de raios de curvatura seja de pelo menos 10 mm .
c) dada essa velocidade calcule o módulo da força magnética sobre cada um dos átomos e compare com a força gravitacional considerando
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um experimento pra diferenciar dois tipos de urânio usando um espectrômetro de massa. O urânio radioativo e o comum são ionizados (perdem um elétron) e passam por um campo magnético. Nosso objetivo é:
a) Encontrar uma expressão para a diferença no raio de curvatura das trajetórias dos dois tipos de átomos.
b) Calcular a velocidade mínima necessária pra que essa diferença seja de pelo menos 10 mm, usando os dados fornecidos.
c) Calcular a força magnética sobre cada átomo nessa velocidade e compará-la com a força gravitacional.
b) Calcular a velocidade mínima necessária pra que essa diferença seja de pelo menos 10 mm, usando os dados fornecidos.
c) Calcular a força magnética sobre cada átomo nessa velocidade e compará-la com a força gravitacional.
Vamos precisar de conceitos de física como força magnética, movimento de partículas carregadas em campo magnético, e algumas fórmulas básicas de física. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Parte a) Vamos derivar a expressão para a diferença de raio de curvatura entre o átomo radioativo e o comum.
Quando um átomo carregado (íons no caso) se move em um campo magnético, ele sofre uma força magnética que o faz seguir uma trajetória circular. O raio dessa trajetória é dado por:
Onde:
- $ r $ é o raio de curvatura,
- $ m $ é a massa do átomo,
- $ v $ é a velocidade,
- $ q $ é a carga elétrica,
- $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Queremos a diferença entre os raios dos dois tipos de urânio:
Substituindo a fórmula de $ r $ para cada tipo:
Fatorando $ \frac{v}{qB} $:
Então, a expressão para a diferença de raio é:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos calcular a velocidade mínima necessária para que a diferença de raios seja de pelo menos 10 mm, usando os dados fornecidos.
Primeiro, vamos entender cada valor:
- Massa do urânio radioativo por mol: 235 g/mol
- Massa do urânio comum por mol: 238 g/mol
- Carga elétrica do elétron: $ e = 1,65 \times 10^{-19} , C $
- Campo magnético: $ B = 0,1 , T $
- Diferença de raio: $ \Delta r \geq 10 , mm = 0,01 , m $
- Número de Avogadro: $ N_A = 6,022 \times 10^{23} , mol^{-1} $
Primeiro, precisamos calcular a massa de um único átomo:
Para o radioativo:
Para o comum:
Agora, sabemos que:
Queremos encontrar $ v $, então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando a diferença de massa:
Como queremos o valor absoluto:
Então, a velocidade mínima é aproximadamente 324 m/s.
Passo 4
Parte c) Com essa velocidade, vamos calcular a força magnética sobre cada átomo e comparar com a força gravitacional.
A força magnética é dada por:
Para ambos os átomos, como a carga $ q = e $:
Agora, vamos calcular a força gravitacional:
Para o radioativo:
Para o comum:
Agora, comparando as forças:
A força magnética é aproximadamente 14 vezes maior que a força gravitacional para ambos os átomos.
Resposta
a)
b) A velocidade mínima necessária é aproximadamente 324 m/s.
c) A força magnética sobre cada átomo é
, sendo cerca de 14 vezes maior que a força gravitacional para ambos os átomos.