Em um experimento para diferenciar o urânio radioativo do urânio comum, ambos são colocados em um espectrômetro de massa. Um átomo de cada uma das duas amostras é lançado com mesma velocidade em uma região de campo magnético sendo que de ambos os átomos foi arrancado um elétron. a) Derive uma expressão para a diferença de raio de curvatura entre o átomo radioativo e o comum. b) Um mol de urânio radioativo tem massa de 235 g enquanto o uranio comum tem 238g. Se e= 1,65.10^-19 C e o campo magnético máximo do equipamento é B=0,1 T, calcule qual deve ser a velocidade mínima de entrada na região de campo magnético para que a diferença de raios de curvatura seja de pelo menos 10 mm . (NA=6,022.10^23) c) dada essa velocidade calcule o módulo da força magnética sobre cada um dos átomos e compare com a força gravitacional considerando g=9,81 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um experimento pra diferenciar dois tipos de urânio usando um espectrômetro de massa. O urânio radioativo e o comum são ionizados (perdem um elétron) e passam por um campo magnético. Nosso objetivo é:
a) Encontrar uma expressão para a diferença no raio de curvatura das trajetórias dos dois tipos de átomos.
b) Calcular a velocidade mínima necessária pra que essa diferença seja de pelo menos 10 mm, usando os dados fornecidos.
c) Calcular a força magnética sobre cada átomo nessa velocidade e compará-la com a força gravitacional.
Vamos precisar de conceitos de física como força magnética, movimento de partículas carregadas em campo magnético, e algumas fórmulas básicas de física. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Parte a) Vamos derivar a expressão para a diferença de raio de curvatura entre o átomo radioativo e o comum.
Quando um átomo carregado (íons no caso) se move em um campo magnético, ele sofre uma força magnética que o faz seguir uma trajetória circular. O raio dessa trajetória é dado por:
r = mvqB
Onde:
  • $ r $ é o raio de curvatura,
  • $ m $ é a massa do átomo,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ q $ é a carga elétrica,
  • $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Queremos a diferença entre os raios dos dois tipos de urânio:
r
Substituindo a fórmula de $ r $ para cada tipo:
m
Fatorando $ \frac{v}{qB} $:
v
Então, a expressão para a diferença de raio é:
q

Passo 3

Parte b) Agora, vamos calcular a velocidade mínima necessária para que a diferença de raios seja de pelo menos 10 mm, usando os dados fornecidos.
Primeiro, vamos entender cada valor:
  • Massa do urânio radioativo por mol: 235 g/mol
  • Massa do urânio comum por mol: 238 g/mol
  • Carga elétrica do elétron: $ e = 1,65 \times 10^{-19} , C $
  • Campo magnético: $ B = 0,1 , T $
  • Diferença de raio: $ \Delta r \geq 10 , mm = 0,01 , m $
  • Número de Avogadro: $ N_A = 6,022 \times 10^{23} , mol^{-1} $
Primeiro, precisamos calcular a massa de um único átomo:
e = 1,65 times 10^-19 , C
Para o radioativo:
B = 0,1 , T
Para o comum:
Agora, sabemos que:
NA = 6,022 times 10^23 , mol^-1
Queremos encontrar $ v $, então rearranjamos a fórmula:
m = massa molarNA
Substituindo os valores:
mradioativo = 235 , g/mol6,022 times 10^23 , mol^-1 = 3,899 times 10^-22 , kg
Calculando a diferença de massa:
mcomum = 238 , g/mol6,022 times 10^23 , mol^-1 = 3,950 times 10^-22 , kg
Como queremos o valor absoluto:
v
v >= De
Então, a velocidade mínima é aproximadamente 324 m/s.

Passo 4

Parte c) Com essa velocidade, vamos calcular a força magnética sobre cada átomo e comparar com a força gravitacional.
A força magnética é dada por:
Fmag = qvB
Para ambos os átomos, como a carga $ q = e $:
q = e
Fmag = 1,65 times 10^-19 , C cdot 324 , m/s cdot 0,1 , T
Agora, vamos calcular a força gravitacional:
Fmag = 5,346 times 10^-20 , N
Para o radioativo:
Fgrav = mg
Fgrav, radioativo = 3,899 times 10^-22 , kg cdot 9,81 , m/s^2
Para o comum:
Fgrav, radioativo = 3,82 times 10^-21 , N
Fgrav, comum = 3,950 times 10^-22 , kg cdot 9,81 , m/s^2
Agora, comparando as forças:
Fgrav, comum = 3,88 times 10^-21 , N
Fmag = 5,346 times 10^-20 , N
Fgrav, radioativo = 3,82 times 10^-21 , N
A força magnética é aproximadamente 14 vezes maior que a força gravitacional para ambos os átomos.

Resposta

a) De
b) A velocidade mínima necessária é aproximadamente 324 m/s.
c) A força magnética sobre cada átomo é 5,346 times 10^-20 , N, sendo cerca de 14 vezes maior que a força gravitacional para ambos os átomos.

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