Em um experimento de fenda dupla, o comprimento de onda da luz incidente é 405 nm , a distância entre as fendas é 20 \mu \mathrm{~m} e a largura das fendas é 4 \mu \mathrm{~m}. Condidere a interferência da luz que passa pelas duas fendas e também a difração da luz em cada fenda.
a. Quantas franjas claras podem ser observadas dentro do envoltório central de difração?
b. Quantas franjas claras podem ser observadas no primeiro máximo secundário de um dos lados da figura de difração?

Passo 1

O enunciado trata de um experimento de fenda dupla com difração em cada fenda. Temos o comprimento de onda da luz \lambda=405\,\text{nm}, a separação entre fendas d=20\,\mu\text{m} e a largura de cada fenda a=4\,\mu\text{m}. Para resolver usaremos:
  1. As posições das franjas de interferência dada por
\sin\theta_m = \frac{m\lambda}{d},\quad m\in\mathbb{Z},
  1. As posições dos mínimos do padrão de difração de uma fenda dada por
\sin\theta_n = \frac{n\lambda}{a},\quad n=1,2,\dots

Passo 2

Dentro do envoltório central de difração temos |\theta_m| tal que
|\sin\theta_m|\le \sin\theta_{n=1}=\frac{\lambda}{a}.
Logo
\Bigl|\frac{m\lambda}{d}\Bigr|\le\frac{\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad |m|\le\frac{d}{a}= \frac{20\,\mu\text{m}}{4\,\mu\text{m}}=5.
Isso dá m=-5,-4,\dots,4,5. Contudo, m=\pm5 coincide exatamente com o primeiro mínimo de difração e não são observáveis (intensidade nula). Permanecem os m=-4,-3,\dots,3,4, totalizando 2\cdot4+1=9 franjas claras.

Passo 3

No primeiro máximo secundário de difração (lado positivo) o ângulo varia entre o primeiro e o segundo mínimo de difração, isto é
\frac{\lambda}{a}<\sin\theta<\frac{2\lambda}{a}.
Assim buscamos m tais que
\frac{\lambda}{a}<\frac{m\lambda}{d}<\frac{2\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{a}<m<\frac{2d}{a} \quad\Longrightarrow\quad 5<m<10.
Os inteiros m possíveis são 6,7,8,9, ou seja, 4 franjas claras no primeiro máximo secundário.

Resposta

a) 9
b) 4

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