Uma luz de comprimento de onda de 580 nm incide em uma fenda de largura 0,300 \mathrm{~mm}. O anteparo onde a luz é observada está a uma distância de 2,00 \mathrm{~m} da fenda.
a. Encontre a posição das primeiras franjas escuras e da largura do máximo central.
b. O que acontece se a largura da fenda aumentar em uma ordem de magnitude (para 3,00 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

O enunciado trata de difração em fenda única: uma luz de comprimento de onda \lambda=580\,\mathrm{nm} incide sobre uma fenda de largura a=0,300\,\mathrm{mm}, e o anteparo está a L=2,00\,\mathrm{m}. Queremos (a) a posição das primeiras franjas escuras e a largura do máximo central e (b) o que muda se a aumenta para 3,00\,\mathrm{mm}. Para isso usamos a condição das mínimas em fenda única
\sin\theta_m=\frac{m\,\lambda}{a},
e, para pequenos ângulos, aproximamos \theta_m\approx\sin\theta_m e a posição no anteparo por
y_m\approx L\,\theta_m\approx L\,\frac{m\,\lambda}{a}.

Passo 2

Para as primeiras franjas escuras m=\pm1,
y_1=\frac{L\,\lambda}{a} =\frac{(2{,}00\,\mathrm{m})(5{,}80\times10^{-7}\,\mathrm{m})}{3{,}00\times10^{-4}\,\mathrm{m}} =3{,}87\times10^{-3}\,\mathrm{m} =3{,}87\,\mathrm{mm}.

Passo 3

As primeiras franjas escuras aparecem em
y=\pm3{,}87\,\mathrm{mm}
em relação ao centro. A largura do máximo central é a distância entre m=-1 e m=+1, ou seja
\Delta y=2\,y_1=2\times3{,}87\,\mathrm{mm}=7{,}74\,\mathrm{mm}.

Passo 4

Se a fenda fica dez vezes mais larga ( a=3{,}00\,\mathrm{mm}), basta recalcular
y_1'=\frac{(2{,}00)(5{,}80\times10^{-7})}{3{,}00\times10^{-3}} =3{,}87\times10^{-4}\,\mathrm{m} =0{,}387\,\mathrm{mm},
logo a nova largura do máximo central é
\Delta y'=2\,y_1'=2\times0{,}387\,\mathrm{mm}=0{,}774\,\mathrm{mm}.
Ou seja, ao aumentar a a difração se reduz, e o máximo central fica muito mais estreito.

Resposta

As primeiras franjas escuras estão em \pm3{,}87\,\mathrm{mm} e a largura do máximo central é 7{,}74\,\mathrm{mm}. Se a largura da fenda aumenta para 3{,}00\,\mathrm{mm}, essas posições passam para \pm0{,}387\,\mathrm{mm} e a largura do máximo central fica 0{,}774\,\mathrm{mm}, tornando o padrão de difração mais estreito.

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