Em um experimento com filmes finos é utilizada uma cunha de ar entre duas placas de vidro. Se o comprimento de onda no ar da luz incidente é 480 nm , qual é a diferença entre a espessura do ar na 16a franja escura e na 6a franja escura?
2400 nm
4800 nm
240 nm
480 nm
Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Comprimento de onda da luz no ar: \lambda = 480\\ \text{nm}.
  • Trata-se de uma cunha de ar entre duas placas de vidro; perguntam a diferença entre a espessura do ar na 16ª franja escura e na 6ª franja escura.
O que é pedido:
  • Calcular \Delta t = t_{16}-t_{6}, onde t_m é a espessura do ar correspondente à m-ésima franja escura.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Dois raios refletem em interfaces próximas (cunha de ar): um reflete na face inferior da placa superior (fronteira vidro → ar) e outro na face superior da placa inferior (fronteira ar → vidro). Essas duas reflexões geram interferência.
  • Sobre mudanças de fase ao refletir: quando a luz reflete numa interface indo de meio de menor índice para meio de maior índice ocorre uma inversão de fase de \pi (equivalente a meio comprimento de onda, \lambda/2). Quando reflete de meio mais refringente para menos refringente não há inversão.
  • No nosso caso, uma das reflexões (na superfície ar → vidro, a do fundo da cunha) sofre inversão de fase de \pi, enquanto a outra (do interior do vidro para o ar na placa superior) não sofre. Logo há uma inversão relativa efetiva de meia-onda entre os dois raios.
  • A diferença de caminho geométrico entre os dois raios que atravessam a camada de ar duas vezes é, para incidência quase normal, \;2 n t\;, onde n é o índice do filme (aqui n=1 para o ar) e t é a espessura local do ar. Então a diferença de fase devido ao caminho é \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2 n t.
  • Como há uma inversão de fase relativa de \pi (meia-onda) entre os raios, a condição de interferência para franja escura (interferência destrutiva em reflexão) fica trocada em relação ao caso sem inversão. A condição que resulta é:
2 n t = m \lambda,\qquad m=0,1,2,\dots
Explicando: o termo 2 n t é o caminho óptico extra; para que a soma da diferença de caminho com a meia-onda de inversão dê um múltiplo ímpar de meia-onda (destruição), obtém-se a condição acima. Para o nosso filme de ar, n=1, então
2 t = m \lambda \quad\Rightarrow\quad t_m = \frac{m\lambda}{2}.
Observação prática: em cunha de ar a franja de contato ( t=0) é escura — isso corresponde a m=0 na fórmula acima, comprovando a escolha correta da condição.

Passo 3

Aplicar a fórmula para as ordens pedidas:
  • Para a 16ª franja escura, tomar m=16. Assim
t_{16} = \frac{16\lambda}{2} = 8\lambda.
  • Para a 6ª franja escura, tomar m=6. Assim
t_{6} = \frac{6\lambda}{2} = 3\lambda.

Passo 4

Calcular a diferença entre as espessuras:
\Delta t = t_{16}-t_{6} = (8\lambda)-(3\lambda)=5\lambda.
Substituindo \lambda = 480\\ \text{nm}:
\Delta t = 5\cdot 480\\ \text{nm} = 2400\\ \text{nm}.

Passo 5

Interpretação final e conferência rápida: a diferença de espessura entre a 16ª e a 6ª franjas escuras é igual a 5 vezes o comprimento de onda, ou seja 2400\\ \text{nm}. Isso coincide com a opção apresentada correspondente.

Resposta

2400\\ \text{nm}

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