Se uma panela de pressão consegue operar com uma pressão interna de até 1,5 \mathrm{~atm}, determine a temperatura máxima que a água pode chegar dentro desta panela. Dica: integre a equação de Clausius-Clapeyron supondo que as seguintes aproximações são válidas: 1. v_{\text {liq }} くく v_{\text {vapor }}, 2. o vapor de água se comporta aproximadamente como um gás ideal, e 3. o calor de vaporização é aproximadamente constante, l=40,7 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Observe que para P=1,0 \mathrm{~atm}, T=100^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pedido: determinar a temperatura máxima que a água pode atingir dentro da panela quando a pressão interna máxima é 1,5\\ \mathrm{atm}. Isso significa: encontrar a temperatura de ebulição (saturada) da água quando a pressão de vapor iguala P_2=1{,}5\\ \mathrm{atm}.
  • Informação fornecida (dados relevantes):
    • Para P_1=1{,}0\\ \mathrm{atm} a água ferve a T_1=100^\circ\mathrm{C}.
    • Calor molar de vaporização aproximado e constante: l=40{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Aproximações que devemos usar (foram dadas no enunciado e são essenciais para a integração):
    1. \;v_{\text{líq}}\ll v_{\text{vapor}}\;í (volume molar do líquido desprezível frente ao do vapor).
    2. O vapor de água comporta-se aproximadamente como gás ideal.
    3. l é aproximadamente constante no intervalo de temperaturas considerado.
  • Observação de unidades: vou trabalhar com unidades SI para energia e temperatura em Kelvin. Portanto
    • l=40{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}=40{,}700\\ \mathrm{J/mol}.
    • T_1=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Constante dos gases ideais: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Plano implícito (não vou resolver aqui, apenas enumero): usar a equação de Clausius–Clapeyron com as aproximações para integrar e obter relação entre P e T, e então substituir P_1,T_1,P_2 e resolver para T_2.

Passo 2

Apresentando a equação de Clausius–Clapeyron e justificando as aproximações.
A forma geral da equação de Clapeyron (para equilíbrio líquido–vapor) é
\frac{dP}{dT}=\frac{l}{T\,(v_{\text{vapor}}-v_{\text{líq}})}.í
Explicando cada termo:
  • \,P é a pressão de saturação do vapor em equilíbrio com o líquido.
  • \,T é a temperatura absoluta (K).
  • \,l é o calor molar de vaporização (energia por mol para vaporizar).
  • \,v_{\text{vapor}} e \,v_{\text{líq}}í são volumes molares do vapor e do líquido, respectivamente.
Pela aproximação 1 ( v_{\text{líq}}\ll v_{\text{vapor}}í) podemos desprezar v_{\text{líq}}í no denominador. Então
\frac{dP}{dT}\approx\frac{l}{T\,v_{\text{vapor}}}.
Pela aproximação 2 (vapor ideal), o volume molar do vapor é dado por
v_{\text{vapor}}=\frac{R T}{P},
onde R é a constante dos gases ideais. Substituindo em cima:
\frac{dP}{dT}\approx\frac{l}{T}\cdot\frac{P}{R T}=\frac{l\,P}{R\,T^2}.

Passo 3

Separando variáveis e integrando — derivação da forma integrada da equação de Clausius–Clapeyron (com as aproximações).
A equação diferencial aproximada que temos é
\frac{dP}{dT}=\frac{l\,P}{R\,T^2}.
Reescrevendo em forma separável:
\frac{dP}{P}=\frac{l}{R}\,\frac{dT}{T^2}.
Integramos ambos os lados entre dois estados de saturação (P_1,T_1) e (P_2,T_2):
\int_{P_1}^{P_2}\frac{dP}{P}=\frac{l}{R}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T^2}.
Calcule as integrais: a integral à esquerda é \ln\!\big(\tfrac{P_2}{P_1}\big). A integral à direita é
\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T^2}=\left[-\frac{1}{T}\right]_{T_1}^{T_2}=-\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_1}.
Portanto obtemos a forma clássica:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{l}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Essa é a relação que liga pressões de saturação e temperaturas sob as aproximações usadas.

Passo 4

Isolando T_2 (a temperatura buscada) na expressão integrada.
A equação obtida é
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{l}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Multiplicando por -\dfrac{R}{l} e rearranjando:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=-\frac{R}{l}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Logo
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{l}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Finalmente
T_2=\frac{1}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{R}{l}\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}.
Esta fórmula dá T_2 a partir de P_2,P_1,T_1,l,R.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos com cuidado nas unidades.
Valores que vamos usar (todos em SI / consistentes):
  • P_1=1{,}0\\ \mathrm{atm} (estado de referência), P_2=1{,}5\\ \mathrm{atm}. Observação: aqui as pressões aparecem dentro de um logaritmo como razão P_2/P_1, então unidades cancelam — podemos usar atm diretamente na razão.
  • T_1=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • l=40{,}700\\ \mathrm{J/mol}.
  • R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Calcule primeiro a razão de pressões e seu logaritmo:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(1{,}5)\approx 0{,}4054651081.
Calcule o fator \dfrac{R}{l}:
\frac{R}{l}=\frac{8{,}314462618}{40{,}700}\\ \mathrm{(mol\cdot K/J)}\approx 0{,}00020439\\ \mathrm{K/J^{-1}}.
Multiplicando:
\frac{R}{l}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 0{,}00020439\times 0{,}4054651081\approx 0{,}00008297\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora calcule 1/T_1 e depois 1/T_2:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{373{,}15\\ \mathrm{K}}\approx 0{,}00267989\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{l}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \approx 0{,}00267989-0{,}00008297=0{,}00259692\\ \mathrm{K^{-1}}.
Inverta para obter T_2:
T_2\approx\frac{1}{0{,}00259692}\\ \mathrm{K}\approx 385{,}00\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_2\approx 385{,}00\\ \mathrm{K}-273{,}15\approx 111{,}85^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma sensata (os dados têm pouca casas significativas: l com 3 signif. e pressão dada a 2 dígitos), podemos dar T_2\approx 112^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida.
  • Resultado: com pressão de 1{,}5\\ \mathrm{atm} a temperatura de ebulição da água sobe de 100^\circ\mathrm{C} (a 1\\ \mathrm{atm}) para cerca de 112^\circ\mathrm{C}.
  • Isso faz sentido fisicamente: aumentar a pressão de saturação exige temperatura maior para que o vapor tenha pressão suficiente para igualar a pressão externa.
  • Observação sobre a aproximação: usamos v_{\text{líq}}\ll v_{\text{vapor}}í, vapor ideal e l constante — para o intervalo 100 → 112 °C essas aproximações são razoáveis e o valor obtido é uma boa estimativa prática.

Resposta

T_2\approx 111{,}9^\circ\mathrm{C} (aproximadamente 112^\circ\mathrm{C}).

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