Se uma panela de pressão consegue operar com uma pressão interna de até
, determine a temperatura máxima que a água pode chegar dentro desta panela. Dica: integre a equação de Clausius-Clapeyron supondo que as seguintes aproximações são válidas: 1.
くく
, 2. o vapor de água se comporta aproximadamente como um gás ideal, e 3. o calor de vaporização é aproximadamente constante,
. Observe que para
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pedido: determinar a temperatura máxima que a água pode atingir dentro da panela quando a pressão interna máxima é
. Isso significa: encontrar a temperatura de ebulição (saturada) da água quando a pressão de vapor iguala . - Informação fornecida (dados relevantes):
- Para
a água ferve a . - Calor molar de vaporização aproximado e constante:
.
- Para
- Aproximações que devemos usar (foram dadas no enunciado e são essenciais para a integração):
-
(volume molar do líquido desprezível frente ao do vapor). - O vapor de água comporta-se aproximadamente como gás ideal.
-
é aproximadamente constante no intervalo de temperaturas considerado.
-
- Observação de unidades: vou trabalhar com unidades SI para energia e temperatura em Kelvin. Portanto
-
. -
. - Constante dos gases ideais:
.
-
- Plano implícito (não vou resolver aqui, apenas enumero): usar a equação de Clausius–Clapeyron com as aproximações para integrar e obter relação entre
e , e então substituir e resolver para .
Passo 2
Apresentando a equação de Clausius–Clapeyron e justificando as aproximações.
A forma geral da equação de Clapeyron (para equilíbrio líquido–vapor) é
Explicando cada termo:
-
é a pressão de saturação do vapor em equilíbrio com o líquido. -
é a temperatura absoluta (K). -
é o calor molar de vaporização (energia por mol para vaporizar). -
e são volumes molares do vapor e do líquido, respectivamente.
Pela aproximação 1 (
) podemos desprezar
no denominador. Então
Pela aproximação 2 (vapor ideal), o volume molar do vapor é dado por
onde
é a constante dos gases ideais. Substituindo em cima:
Passo 3
Separando variáveis e integrando — derivação da forma integrada da equação de Clausius–Clapeyron (com as aproximações).
A equação diferencial aproximada que temos é
Reescrevendo em forma separável:
Integramos ambos os lados entre dois estados de saturação
e
:
Calcule as integrais: a integral à esquerda é
. A integral à direita é
Portanto obtemos a forma clássica:
Essa é a relação que liga pressões de saturação e temperaturas sob as aproximações usadas.
Passo 4
Isolando
(a temperatura buscada) na expressão integrada.
A equação obtida é
Multiplicando por
e rearranjando:
Logo
Finalmente
Esta fórmula dá
a partir de
.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos com cuidado nas unidades.
Valores que vamos usar (todos em SI / consistentes):
-
(estado de referência), . Observação: aqui as pressões aparecem dentro de um logaritmo como razão , então unidades cancelam — podemos usar atm diretamente na razão. -
. -
. -
.
Calcule primeiro a razão de pressões e seu logaritmo:
Calcule o fator
:
Multiplicando:
Agora calcule
e depois
:
Inverta para obter
:
Convertendo para graus Celsius:
Arredondando de forma sensata (os dados têm pouca casas significativas:
com 3 signif. e pressão dada a 2 dígitos), podemos dar
.
Passo 6
Interpretação física e checagem rápida.
- Resultado: com pressão de
a temperatura de ebulição da água sobe de (a ) para cerca de . - Isso faz sentido fisicamente: aumentar a pressão de saturação exige temperatura maior para que o vapor tenha pressão suficiente para igualar a pressão externa.
- Observação sobre a aproximação: usamos
, vapor ideal e constante — para o intervalo 100 → 112 °C essas aproximações são razoáveis e o valor obtido é uma boa estimativa prática.