1. Utilize a expressão de f(T, v) dada acima para obter a função de Gibbs específica, g. Lembre-se que \left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_{T}=-P.

Passo 1

O enunciado pede para usar a expressão de f(T,v) (a função de Helmholtz específica) que foi dada “acima” para obter a função de Gibbs específica g. Foi lembrado que
\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_{T} = -P.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Existe uma expressão explícita para f(T,v) (mas essa expressão não foi enviada aqui).
  • A relação entre a derivada de f em relação a v (à temperatura constante) e a pressão P é \left(\dfrac{\partial f}{\partial v}\right)_{T}=-P.
Observação importante: como a expressão explícita de f(T,v) não foi recebida, não é possível calcular uma forma fechada numérica ou simbólica específica para g usando exatamente aquela expressão. Vou, portanto, explicar passo a passo o procedimento geral para obter g a partir de f, com demonstrações e um exemplo ilustrativo que mostra como aplicar o procedimento na prova. Se você quiser que eu aplique isso diretamente à expressão que seu professor deu, cole essa expressão e eu faço os cálculos passo a passo com ela.

Passo 2

O que é f e o que queremos encontrar:
  • f(T,v) é a energia livre de Helmholtz específica escrita em função de temperatura T e volume específico v. Aqui “específica” significa por unidade de massa (ou por mol, dependendo das unidades), mas o procedimento é o mesmo.
  • A função de Gibbs específica g é uma energia livre cujas variáveis naturais são T e P. Queremos expressar g como função de T e P.
Fórmula básica (Legendre transform):
A relação entre f e g é uma transformação de Legendre no parâmetro v. A definição prática é
g = f + P\,v.
Aqui:
  • g é a função de Gibbs específica (função de T e P);
  • f é a função de Helmholtz específica (função de T e v);
  • P é a pressão (extensiva por unidade de área) e v é o volume específico (variável conjugada a P).
Explicando por que essa fórmula funciona (passo-a-passo diferencial):
  1. Diferencial de f(T,v): por definições termodinâmicas,
\mathrm{d}f = -s\,\mathrm{d}T - P\,\mathrm{d}v,
onde s é a entropia específica e s = -\left(\dfrac{\partial f}{\partial T}\right)_{v}. Aqui explico as variáveis:
  • s é entropia por unidade de massa (ou por mol);
  • T é temperatura;
  • v é volume específico.
  1. Definindo g = f + P v, tomamos diferencial:
\mathrm{d}g = \mathrm{d}f + P\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}P.
Substituindo \mathrm{d}f,
\mathrm{d}g = -s\,\mathrm{d}T - P\,\mathrm{d}v + P\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}P = -s\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P.
Isso mostra que g tem variáveis naturais T e P: \mathrm{d}g = -s\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P. Consequências úteis:
\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)_{P} = -s,\qquad \left(\frac{\partial g}{\partial P}\right)_{T} = v.

Passo 3

Procedimento prático para obter g(T,P) a partir de f(T,v) (passos que você deve executar na prova):
  1. Calcule a pressão como função de T e v a partir de f usando a relação dada:
P(T,v) = -\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_{T}.
  1. Inverta essa relação para obter v como função de T e P: encontre v=v(T,P) resolvendo
P = P(T,v).
Nem sempre essa inversão é algébrica simples; às vezes resulta em uma equação implícita que você deixa indicada como v(T,P). Quando possível, resolva explicitamente para v.
  1. Substitua v(T,P) em f e use a transformação de Legendre:
g(T,P) = f\bigl(T,\,v(T,P)\bigr) + P\,v(T,P).
Essa é a expressão final de g em termos de T e P.
Notas práticas:
  • Se a inversão for complicada, às vezes basta escrever g(T,P)=f(T,v)+Pv com v determinado implicitamente por P=-f_v; isso já é uma resposta formal correta.
  • Em muitos exercícios típicos a relação entre P e v será simples o suficiente para achar v(T,P) explicitamente.

Passo 4

Exemplo didático (para fixar o procedimento). Vou escolher um f simples e razoável para ilustrar como aplicar os passos na prova. Suponha (apenas como exemplo) que
f(T,v) = -R\,T\ln v + \varphi(T),
onde R é uma constante (por exemplo, a constante dos gases na base escolhida) e \varphi(T) é alguma função apenas de T. Este f é um modelo simplificado que aparece na termodinâmica do gás ideal (a parte -R T\ln v captura dependência em v).
Aplicando o Passo 1 do procedimento:
P(T,v) = -\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_{T} = -\bigl(-R\,T\cdot\tfrac{1}{v}\bigr) = \frac{R\,T}{v}.
Invertendo para v:
v(T,P)=\frac{R\,T}{P}.
Agora aplicando a transformação de Legendre:
g(T,P)=f\bigl(T,v(T,P)\bigr)+P\,v(T,P).
Substituindo:
g(T,P) = -R\,T\ln\!\biggl(\frac{R\,T}{P}\biggr) + \varphi(T) + P\cdot\frac{R\,T}{P}.
Simplificando:
g(T,P) = -R\,T\ln(R\,T) + R\,T\ln P + \varphi(T) + R\,T.
Ou reorganizando:
g(T,P)=R\,T\ln P + \bigl(\varphi(T) - R\,T\ln(R\,T) + R\,T\bigr).
Verificação rápida das propriedades diferenciais (controle de sanidade):
\left(\frac{\partial g}{\partial P}\right)_{T} = \frac{R\,T}{P} = v(T,P),
que bate com a relação esperada. E
\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)_{P} = R\ln P + \varphi'(T) - R\ln(RT) - R + R = R\ln P + \varphi'(T) - R\ln(RT),
o que daria -s conforme a definição de entropia específica no caso escolhido (não precisamos entrar em todos os detalhes aqui; o ponto é que as relações são consistentes).

Passo 5

Resumo prático que você pode escrever direto na sua folha de prova:
  • Calcule P(T,v) = -\left(\dfrac{\partial f}{\partial v}\right)_{T}.
  • Inverta para obter v=v(T,P).
  • Depois calcule g(T,P)=f\bigl(T,v(T,P)\bigr)+P\,v(T,P).
Lembrete final de prova: se o enunciado fornecer uma expressão explícita para f(T,v), aplique esses passos e faça a inversão; se a inversão for difícil, deixe a resposta na forma implícita g(T,P)=f(T,v)+Pv com a condição P=-f_v.

Resposta

g(T,P)=f\bigl(T,v(T,P)\bigr)+P\,v(T,P), em que v(T,P) é obtida a partir da equação
P=-\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_{T}.

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