- Utilize a expressão de
dada acima para obter a função de Gibbs específica,
. Lembre-se que
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a expressão de
(a função de Helmholtz específica) que foi dada “acima” para obter a função de Gibbs específica
. Foi lembrado que
Informações fornecidas no enunciado:
- Existe uma expressão explícita para
(mas essa expressão não foi enviada aqui). - A relação entre a derivada de
em relação a (à temperatura constante) e a pressão é .
Observação importante: como a expressão explícita de
não foi recebida, não é possível calcular uma forma fechada numérica ou simbólica específica para
usando exatamente aquela expressão. Vou, portanto, explicar passo a passo o procedimento geral para obter
a partir de
, com demonstrações e um exemplo ilustrativo que mostra como aplicar o procedimento na prova. Se você quiser que eu aplique isso diretamente à expressão que seu professor deu, cole essa expressão e eu faço os cálculos passo a passo com ela.
Passo 2
O que é
e o que queremos encontrar:
-
é a energia livre de Helmholtz específica escrita em função de temperatura e volume específico . Aqui “específica” significa por unidade de massa (ou por mol, dependendo das unidades), mas o procedimento é o mesmo. - A função de Gibbs específica
é uma energia livre cujas variáveis naturais são e . Queremos expressar como função de e .
Fórmula básica (Legendre transform):
A relação entre e
é uma transformação de Legendre no parâmetro
. A definição prática é
A relação entre
Aqui:
-
é a função de Gibbs específica (função de e ); -
é a função de Helmholtz específica (função de e ); -
é a pressão (extensiva por unidade de área) e é o volume específico (variável conjugada a ).
Explicando por que essa fórmula funciona (passo-a-passo diferencial):
- Diferencial de
: por definições termodinâmicas,
onde
é a entropia específica e
. Aqui explico as variáveis:
-
é entropia por unidade de massa (ou por mol); -
é temperatura; -
é volume específico.
- Definindo
, tomamos diferencial:
Substituindo
,
Isso mostra que
tem variáveis naturais
e
:
. Consequências úteis:
Passo 3
Procedimento prático para obter
a partir de
(passos que você deve executar na prova):
- Calcule a pressão como função de
e a partir de usando a relação dada:
- Inverta essa relação para obter
como função de e : encontre resolvendo
Nem sempre essa inversão é algébrica simples; às vezes resulta em uma equação implícita que você deixa indicada como
. Quando possível, resolva explicitamente para
.
- Substitua
em e use a transformação de Legendre:
Essa é a expressão final de
em termos de
e
.
Notas práticas:
- Se a inversão for complicada, às vezes basta escrever
com determinado implicitamente por ; isso já é uma resposta formal correta. - Em muitos exercícios típicos a relação entre
e será simples o suficiente para achar explicitamente.
Passo 4
Exemplo didático (para fixar o procedimento). Vou escolher um
simples e razoável para ilustrar como aplicar os passos na prova. Suponha (apenas como exemplo) que
onde
é uma constante (por exemplo, a constante dos gases na base escolhida) e
é alguma função apenas de
. Este
é um modelo simplificado que aparece na termodinâmica do gás ideal (a parte
captura dependência em
).
Aplicando o Passo 1 do procedimento:
Invertendo para
:
Agora aplicando a transformação de Legendre:
Substituindo:
Simplificando:
Ou reorganizando:
Verificação rápida das propriedades diferenciais (controle de sanidade):
que bate com a relação esperada. E
o que daria
conforme a definição de entropia específica no caso escolhido (não precisamos entrar em todos os detalhes aqui; o ponto é que as relações são consistentes).
Passo 5
Resumo prático que você pode escrever direto na sua folha de prova:
- Calcule
. - Inverta para obter
. - Depois calcule
.
Lembrete final de prova: se o enunciado fornecer uma expressão explícita para
, aplique esses passos e faça a inversão; se a inversão for difícil, deixe a resposta na forma implícita
com a condição
.