Em um trocador de calor multitubular (TC-1.2) de contracorrente, a água ( c_{p} =4,188 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg} . \mathrm{K} ) com coeficiente convectivo de 73,8 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} passa pelo casco em passe único, enquanto que o óleo ( c_{p}=1,897 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg} . \mathrm{K} ) com coeficiente convectivo de 114 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} dá dois passes pelos tubos ( F=0,95 ). A água flui a 23 \mathrm{Kg} / \mathrm{min} e é aquecida de 13 K para 35 K por óleo que entra a 94 K e deixa o trocador a 60 K . Considerando um fator de incrustação de 0,002 , pede-se:
a) A vazão mássica de óleo
c) A área de troca de calor necessária para o trocador
d) O número de tubos necessários, com diâmetro externo de 0,5^{\prime} e 6 m de comprimento. ( 1^{\prime \prime}=2,54 \mathrm{~cm} ). (2,5 Pontos)

Passo 1

Vou primeiro listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Água: c_{p,\text{água}}=4{,}188\\ \mathrm{KJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}á (ou seja 4188\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}), vazão mássica \dot{m}_{\text{água}}=23\\ \mathrm{kg}/\miná, entrada T_{c,\text{in}}=13^\circ\mathrm{C}, saída T_{c,\text{out}}=35^\circ\mathrm{C}. Coeficiente convectivo na casca h_{\text{casca}}=73{,}8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Óleo (fluido de tubos): c_{p,\text{óleo}}=1{,}897\\ \mathrm{KJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}ó (ou seja 1897\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}), entrada T_{h,\text{in}}=94^\circ\mathrm{C}, saída T_{h,\text{out}}=60^\circ\mathrm{C}. Coeficiente convectivo nos tubos h_{\text{tubos}}=114\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • O trocador é multitubular com óleo dando dois passes; foi dado o fator de correção F=0{,}95.
  • Fator de incrustação (fouling) R_f=0{,}002 (tomarei em \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}, resistência térmica por unidade de área).
  • Tubos: diâmetro externo D_o=0{,}5'' ( 1''=2{,}54\\ \mathrm{cm}), comprimento L=6\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
a) A vazão mássica de óleo \dot{m}_{\text{óleo}}ó.
c) (acho que foi um pequeno erro de letras no enunciado) A área de troca de calor necessária A.
d) O número de tubos necessários, dado o diâmetro externo e comprimento dos tubos.
Observação importante (assunção que farei, explicada depois): vou considerar que as resistências convectivas e o fouling estão referidas à mesma área (base de área externa dos tubos) e vou desprezar a resistência do material da parede do tubo por não haver espessura/condutividade fornecida. Se isso for diferente no seu material de prova, a ideia central da solução é a mesma e bastaria incluir a resistência da parede.

Passo 2

Calcular a taxa de calor Q baseada no aquecimento da água (energia que a água ganha é igual à energia cedida pelo óleo).
Primeiro converto a vazão mássica da água para \mathrm{kg}/\mathrm{s}:
\dot{m}_{\text{água}}=\frac{23\\ \mathrm{kg}}{1\\ \min}=\frac{23}{60}\\ \mathrm{kg/s}=0{,}383333\\ \mathrm{kg/s}.á
Explico a fórmula que uso: a energia transferida por um fluido devido à variação de temperatura é
Q=\dot{m}\,c_p\,\Delta T,
onde \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg}/\mathrm{s}), c_p é o calor específico ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}) e \Delta T é a variação de temperatura do fluido em K (ou °C).
Para a água:
\Delta T_{\text{água}}=T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}=35-13=22\\ \mathrm{K}.á
Q=\dot{m}_{\text{água}}\,c_{p,\text{água}}\,\Delta T_{\text{água}} =\frac{23}{60}\cdot 4188 \cdot 22.ááá
Faço a conta:
Q=\frac{23\cdot 4188\cdot 22}{60}=35318{,}8\\ \mathrm{W}\\ (\approx 35{,}32\\ \mathrm{kW}).
Interpretação: esse é o fluxo térmico necessário — a potência que o trocador deve transferir do óleo para a água.

Passo 3

Calcular a vazão mássica do óleo usando balanço de energia no trocador.
A energia cedida pelo óleo é igual a Q=\dot{m}_{\text{óleo}}\,c_{p,\text{óleo}}\,(T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}})óó. Isolando \dot{m}_{\text{óleo}}ó:
\dot{m}_{\text{óleo}}=\frac{Q}{c_{p,\text{óleo}}\,\Delta T_{\text{óleo}}}, \quad \text{onde}\\ \Delta T_{\text{óleo}}=T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}}=94-60=34\\ \mathrm{K}.óóóó
Substituindo valores ( c_{p,\text{óleo}}=1897\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}ó):
\dot{m}_{\text{óleo}}=\frac{35318{,}8}{1897\cdot 34}=\frac{35318{,}8}{64498}=0{,}5478\\ \mathrm{kg/s}.ó
Converto para \mathrm{kg}/\min (pois a vazão da água foi dada em \mathrm{kg}/\min):
\dot{m}_{\text{óleo}}=0{,}5478\cdot 60=32{,}87\\ \mathrm{kg}/\min.ó
Comentário didático: essa equação é apenas conservação de energia — a potência que sai do óleo vai para a água (assumimos sem perdas externas).

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD) para o trocador em contracorrente e aplicar o fator de correção F.
Explico: a LMTD é a média logarítmica das diferenças de temperatura entre os fluidos nas duas extremidades do trocador. Para contracorrente:
\Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}},\qquad \Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}}.
A LMTD é
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Calculo os \Delta T:
\Delta T_1 = 94 - 35 = 59\\ \mathrm{K}, \qquad \Delta T_2 = 60 - 13 = 47\\ \mathrm{K}.
Logo:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{59-47}{\ln(59/47)}=\frac{12}{\ln(1{,}255319)}.
Faço a conta do logaritmo e da divisão:
\ln(1{,}255319)\approx 0{,}2274\quad\Rightarrow\quad \Delta T_{\text{lm}}\approx \frac{12}{0{,}2274}=52{,}78\\ \mathrm{K}.
Agora aplico o fator de correção F=0{,}95 (fornecido para o arranjo com 2 passes):
\Delta T_{\text{lm,cor}}=F\cdot\Delta T_{\text{lm}}=0{,}95\cdot 52{,}78=50{,}14\\ \mathrm{K}.
Interpretação: usamos a LMTD corrigida porque o trocador não é um simples casco e tubo de passagem única com escoamento perfeitamente paralelo/contracorrente — o arranjo de múltiplos passes reduz a efetiva diferença média de temperatura, e F corrige isso.

Passo 5

Calcular o coeficiente global de transferência de calor U incluindo as resistências convectivas e o fouling.
Explicação do conceito: a transferência de calor entre os fluidos através da parede do tubo envolve resistências térmicas em série: convecção do fluido dos tubos, resistência de incrustação (fouling), possível resistência da parede do tubo, e convecção do fluido da casca. A analogia elétrica: R_{\text{total}}=R_{\text{tubo}}+R_f+R_{\text{casca}} e U=1/R_{\text{total}}. Cada resistência convectiva é 1/h (por unidade de área).
Assunção (explicada): como não foi dada espessura/condutividade do material do tubo, vou desprezar a resistência da parede e referir todas as resistências à mesma área (base área externa). Assim:
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_{\text{tubos}}}+R_f+\frac{1}{h_{\text{casca}}}.
Substituo os valores ( h_{\text{tubos}}=114, R_f=0{,}002, h_{\text{casca}}=73{,}8, em unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} e \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}):
\frac{1}{U}=\frac{1}{114}+0{,}002+\frac{1}{73{,}8}.
Faço as contas:
\frac{1}{114}=0{,}0087719,\qquad \frac{1}{73{,}8}=0{,}013549.
\frac{1}{U}=0{,}0087719+0{,}002+0{,}013549=0{,}0243209\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
U=\frac{1}{0{,}0243209}=41{,}13\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Comentário: este U é razoável para troca entre óleo e água com fouling médio. Se você tivesse o diâmetro interno e a espessura do tubo, daria para fazer a conversão exata das resistências de uma área para outra e incluir a resistência da parede — procedimento análogo.

Passo 6

Calcular a área de troca de calor necessária A usando a equação básica:
Q = U\,A\,\Delta T_{\text{lm,cor}} \quad\Rightarrow\quad A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{\text{lm,cor}}}.
Substituo os valores já calculados: Q=35318{,}8\\ \mathrm{W}, U=41{,}13\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}, \Delta T_{\text{lm,cor}}=50{,}14\\ \mathrm{K}.
A=\frac{35318{,}8}{41{,}13\cdot 50{,}14}.
Calculo o denominador:
41{,}13\cdot 50{,}14 \approx 2062{,}41\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Logo
A\approx \frac{35318{,}8}{2062{,}41}=17{,}12\\ \mathrm{m}^2.
Interpretação: precisamos de aproximadamente 17{,}12\\ \mathrm{m}^2 de área externa de tubos para garantir a transferência térmica exigida nas condições dadas.

Passo 7

Calcular o número de tubos necessários, usando o diâmetro externo e comprimento de cada tubo.
Primeiro converto o diâmetro externo para metros:
D_o=0{,}5''=0{,}5\times 2{,}54\\ \mathrm{cm}=1{,}27\\ \mathrm{cm}=0{,}0127\\ \mathrm{m}.
Área externa de troca por tubo (área lateral cilíndrica):
A_{\text{tubo}}=\pi D_o L=\pi\cdot 0{,}0127\cdot 6.
Calculo:
A_{\text{tubo}}=\pi\cdot 0{,}0762\approx 0{,}2393\\ \mathrm{m}^2\\ \text{por tubo}.
Número de tubos necessários (arredondar para cima, pois não se pode ter fração de tubo):
N=\frac{A}{A_{\text{tubo}}}=\frac{17{,}12}{0{,}2393}\approx 71{,}56.
Assim, o número inteiro mínimo de tubos é N=72 (sempre arredondar para cima).
Comentário prático: dependendo de layout e espaçamento, pode ser necessário escolher um número que caiba nas cabeças do trocador; aqui tomamos apenas a conta teórica.

Resposta

a) \dot{m}_{\text{óleo}}=0{,}5478\\ \mathrm{kg/s}=32{,}87\\ \mathrm{kg}/\minó
c) A=17{,}12\\ \mathrm{m}^2
d) N=72 tubos

Exercícios relacionados