Um experimento foi realizado com o objetivo de se avaliar o desempenho de uma máquina de grande porte utilizada em uma indústria localizada em Curitiba. O técnico responsável por avaliar a máquina utilizou uma mistura de óleo diesel e gás, derivados de materiais destilados orgânicos e, na sequência, observou a capacidade da máquina, em cavalo-vapor (HP), em relação à (oito) velocidades distintas, medidas em rotações por minuto (rpm). Os dados obtidos no referido experimento são apresentados na tabela abaixo.
Capacidade 42,5 66,4 49,5 42,2
38,8 31,3 64,4 48,2
Velocidade 15 25 18 14
13 11 24 17
Ajuste um modelo de regressão linear simples considerando as variáveis apresentadas e calcule o coeficiente de determinação ajustado do modelo obtido. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado fornece oito observações de velocidade x (em rpm) e capacidade y (em HP). Queremos ajustar um modelo de regressão linear simples
y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon
e calcular o coeficiente de determinação ajustado R_{\text{adj}}^2. Para isso, vamos precisar de média dos x e dos y, das somas de quadrados S_{xx}, S_{xy}, S_{yy}, do R^2 e então aplicar a fórmula de ajuste para n=8 e p=2 parâmetros.

Passo 2

Calcule as médias
\bar x = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8} x_i = \frac{137}{8} = 17{,}125, \qquad \bar y = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8} y_i = \frac{383{,}3}{8} = 47{,}9125.
Em seguida, formamos
S_{xx} = \sum_{i=1}^8 (x_i - \bar x)^2 = 178{,}875, \qquad S_{xy} = \sum_{i=1}^8 (x_i - \bar x)(y_i - \bar y) = 428{,}99375.

Passo 3

Os estimadores dos coeficientes são
\hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx \frac{428{,}99375}{178{,}875} \approx 2{,}3983,
\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1\,\bar x \approx 47{,}9125 - 2{,}3983\cdot17{,}125 \approx 6{,}8416.
Logo o ajuste é \hat y = 6{,}8416 + 2{,}3983\,x.

Passo 4

Calcule a soma total de quadrados
\text{SST} = \sum_{i=1}^8 (y_i - \bar y)^2 \approx 1037{,}16875
e a soma explicada
\text{SSR} = \hat\beta_1\,S_{xy} \approx 2{,}3983 \times 428{,}99375 \approx 1028{,}8557.
A soma de quadrados do erro é \text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR}\approx 8{,}3130.

Passo 5

O coeficiente de determinação é
R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} \approx \frac{1028{,}8557}{1037{,}16875} \approx 0{,}99198.
E o coeficiente ajustado, para n=8 e p=2, é
R_{\text{adj}}^2 = 1 - (1 - R^2)\,\frac{n-1}{n-p} = 1 - (1 - 0{,}99198)\,\frac{7}{6} \approx 0{,}9906.

Resposta

0,9906

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