Uma empresa industrial C está estudando a compra de um grande lote de componentes produzidos pela companhia P. Segundo P, o seu processo de produção garante que a proporção p de componentes fora das especificações técnicas requeridas por C não é superior a 0,10 (ou 10 \% ). O Departamento de Compras especificou o seguinte procedimento para decidir se a compra será realizada: 20 componentes do lote serão escolhidos ao acaso e testados, e a compra só será realizada se no máximo existir um componente fora das especificações. Na situação descrita, a probabilidade do lote ser rejeitado para valores de p menores ou iguais a 0,10 é chamada risco do produtor, enquanto a probabilidade do lote ser aceito para valores de p maiores que 0,10 é chamada risco do consumidor.
a) Calcule a probabilidade do lote ser rejeitado para p=0,01 ; 0,05 ; 0,10 ; 0,20 ; 0,30. Faça um gráfico dos valores obtidos.
b) Identifique no gráfico os riscos do produtor para p=0,01, p=0,05 e p=0,10 e o risco do consumidor para p=0,20 e p=0,30.
c) Qual é o máximo valor possível do risco do produtor para 0 \leq p \leq 0,10 ? E o mínimo?
d) Qual é o máximo valor possível do risco do consumidor para 0,10<p \leq 1 ? E o mínimo?

Passo 1

O enunciado descreve um plano de amostragem onde se tira uma amostra de n=20 componentes e se aceita o lote se houver no máximo 1 componente fora de especificação. Chamando de X o número de componentes fora de especificação, supomos
X\sim \mathrm{Binomial}(n=20,\;p),
onde p é a proporção de componentes defeituosos no lote. Vamos calcular as probabilidades pedidas usando a fórmula da binomial.

Passo 2

A probabilidade de rejeitar o lote é
P(\text{rejeitar})=P(X\ge2) =1 - P(X\le1) =1 - \Bigl[P(X=0)+P(X=1)\Bigr].
Como
P(X=0)=(1-p)^{20}, \quad P(X=1)=20\,p\,(1-p)^{19},
temos
P(\text{rejeitar}) =1 - \bigl[(1-p)^{20} + 20\,p\,(1-p)^{19}\bigr].

Passo 3

Calculemos P(\text{rejeitar}) para p=0,01, 0,05 e 0,10:
Para p=0,01:
(1-0,01)^{20}=0,99^{20}\approx0,81806 20\cdot0,01\cdot0,99^{19}\approx0,16527
P(\text{rejeitar})=1-(0,81806+0,16527)=0,01667.
Para p=0,05:
(0,95)^{20}\approx0,35849 20\cdot0,05\cdot0,95^{19}\approx0,37736
P(\text{rejeitar})=1-(0,35849+0,37736)=0,26415.
Para p=0,10:
(0,9)^{20}\approx0,12158 20\cdot0,1\cdot0,9^{19}\approx0,27018
P(\text{rejeitar})=1-(0,12158+0,27018)=0,60824.

Passo 4

Agora para p=0,20 e p=0,30:
Para p=0,20:
(0,8)^{20}\approx0,01153 20\cdot0,2\cdot0,8^{19}\approx0,05766
P(\text{rejeitar})=1-(0,01153+0,05766)=0,93081,
logo P(\text{aceitar})=0,06919.
Para p=0,30:
(0,7)^{20}\approx0,00080 20\cdot0,3\cdot0,7^{19}\approx0,00682
P(\text{rejeitar})=1-(0,00080+0,00682)=0,99238,
logo P(\text{aceitar})=0,00762.
(O gráfico de p versus P(\text{rejeitar}) cresceria de cerca de 0 em p=0 até próximo de 1 em p=0,30.)

Passo 5

No gráfico:
Riscos do produtor são P(\text{rejeitar}) quando p\le0,10:
\bullet em p=0,01: 0,01667 \bullet em p=0,05: 0,26415 \bullet em p=0,10: 0,60824
Riscos do consumidor são P(\text{aceitar}) quando p>0,10:
\bullet em p=0,20: 0,06919 \bullet em p=0,30: 0,00762

Passo 6

Para 0\le p\le0,10 (risco do produtor = P(\text{rejeitar})):
\;\min = P(\text{rejeitar})|_{p=0}=0,
\;\max = P(\text{rejeitar})|_{p=0,10}=0,60824.

Passo 7

Para 0,10<p\le1 (risco do consumidor = P(\text{aceitar})):
\;\min = P(\text{aceitar})|_{p=1}=0,
\;\sup = \lim_{p\to0,10^+}P(\text{aceitar})=P(X\le1)\bigl|_{p=0,10}\approx0,39176.

Resposta

a) P(\text{rejeitar}) para
\,p=0,01\to0,01667,
\,p=0,05\to0,26415,
\,p=0,10\to0,60824,
\,p=0,20\to0,93081,
\,p=0,30\to0,99238.
(Gráfico: curva crescente de 0 até quase 1.)
b) Riscos do produtor em p=0,01 ( 0,01667), p=0,05 ( 0,26415) e p=0,10 ( 0,60824); riscos do consumidor em p=0,20 ( 0,06919) e p=0,30 ( 0,00762).
c) Para 0\le p\le0,10:
\min=0, \max=0,60824.
d) Para 0,10<p\le1:
\min=0, \max (supremo) \approx0,39176.

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