A tabela abaixo indica a idade x (em anos) e o valor y do aluguel (em reais) de 13 casas. Considerando o ajuste de um modelo de regressão linear simples, calcule (utilizar 4 casas decimais):
\mathbf{x} \mathbf{y}
45 1416
9 1487
8 1563
44 1445
48 1430
43 1433
20 1485
46 1457
10 1492
10 1502
36 1428
24 1511
25 1459
a. O coeficiente de correlação de Pearson: \square
b. O coeficiente linear estimado: \square
c. O coeficiente angular estimado: \square
d. O valor estimado do aluguel para uma casa com 41 anos: \square

Passo 1

O enunciado fornece n=13 pares (x_i,y_i), onde x_i é a idade da casa e y_i é o valor do aluguel. Vamos ajustar o modelo de regressão linear simples
\hat y = b_0 + b_1 x
e calcular também o coeficiente de correlação de Pearson
r=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2\;\sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2}}.

Passo 2

Calcular as somas e as médias
\sum_{i=1}^n x_i =368,\quad \sum_{i=1}^n y_i =19108,
\bar x = \frac{368}{13}=28{,}3077,\quad \bar y = \frac{19108}{13}=1469{,}8462.

Passo 3

Calcular as “variâncias” e a covariância amostral
S_{xx} = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} =13472 - \frac{368^2}{13} =3054{,}7692,
S_{yy} = \sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2 = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n} =28106736 - \frac{19108^2}{13} =20915{,}6923,
S_{xy} = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = \sum x_i y_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n} =534255 - \frac{368\cdot19108}{13} =-6648{,}3846.

Passo 4

Estimadores da regressão
b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-6648{,}3846}{3054{,}7692} \approx -2{,}1764,
b_0 = \bar y - b_1\,\bar x =1469{,}8462 -(-2{,}1764)\cdot28{,}3077 \approx1531{,}4551.

Passo 5

Coeficiente de correlação de Pearson
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{-6648{,}3846}{\sqrt{3054{,}7692\;\times\;20915{,}6923}} \approx -0{,}8317.

Passo 6

Previsão para x=41
\hat y(41)=b_0 + b_1\cdot41 =1531{,}4551 +(-2{,}1764)\times41 \approx1442{,}2227.

Resposta

a. -0{,}8317
b. 1531{,}4551
c. -2{,}1764
d. 1442{,}2227

Exercícios relacionados