Em um experimento de laboratório, um estudante monta um circuito RC utilizando um resistor de
e um capacitor de
, ligados a uma fonte contínua de
. Após fechar a chave, ele mede a tensão no capacitor ao longo do tempo durante o processo de carga.
Sabendo que a tensão no capacitor é dada por:
determine:
a) A constante de tempo do circuito.
b) A tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo.
c) O tempo aproximado necessário para que o capacitor atinja 95% da tensão da fonte.
a) A constante de tempo do circuito.
b) A tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo.
c) O tempo aproximado necessário para que o capacitor atinja 95% da tensão da fonte.
Passo 1
O enunciado nos dá um circuito RC em carga com os seguintes dados:
- Resistência:
. - Capacitância:
. - Tensão da fonte (tensão final no capacitor):
.
A tensão no capacitor ao longo do tempo é dada por
As perguntas são:
a) Determinar a constante de tempo do circuito.
b) Determinar a tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo.
c) Determinar o tempo aproximado para o capacitor atingir da tensão da fonte.
a) Determinar a constante de tempo do circuito.
b) Determinar a tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo.
c) Determinar o tempo aproximado para o capacitor atingir
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- A constante de tempo de um circuito RC em série é definida por
onde:
-
é a constante de tempo, em segundos ( ); -
é a resistência, em ohms ( ); -
é a capacitância, em farads ( ).
Fisicamente,é o tempo característico do circuito: após um tempo o capacitor atinge cerca de da tensão final ; mais precisamente porque e . -
Para encontrar o tempo
necessário para atingir uma fração da tensão final (ou seja , com ), resolvemos
para
. Isolando a exponencial e aplicando o logaritmo natural,
No caso
, isso vira
. Note que
.
Passo 3
Cálculo da constante de tempo
(conversão de unidades e conta passo a passo):
- Converter
e para unidades SI: - Calcular
:
Portanto a constante de tempo é
.
Passo 4
Tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo (
):
- Usar a fórmula dada com
:
- Substituir
e o valor numérico de :
Arredondando de forma prática para a prova:
. (Isso confirma a ideia: em
o capacitor atinge cerca de
do valor final.)
Passo 5
Tempo para o capacitor atingir
de
:
- Começamos de
. Usando a fórmula:
- Isolando
:
- Substituir
e calcular :
Arredondando para prática de prova:
. Observação intuitiva: isso é cerca de
(pois
), e de fato após
o capacitor atinge aproximadamente
da carga — boa checagem de consistência.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)