Em um experimento de laboratório, um estudante monta um circuito RC utilizando um resistor de 10 k \Omega e um capacitor de 220 \mu F, ligados a uma fonte contínua de 12 V. Após fechar a chave, ele mede a tensão no capacitor ao longo do tempo durante o processo de carga.
Sabendo que a tensão no capacitor é dada por:
V_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-t / R C}\right)
determine:
a) A constante de tempo do circuito.
b) A tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo.
c) O tempo aproximado necessário para que o capacitor atinja 95% da tensão da fonte.

Passo 1

O enunciado nos dá um circuito RC em carga com os seguintes dados:
  • Resistência: R = 10\\ \text{k}\Omega.
  • Capacitância: C = 220\\ \mu\text{F}.
  • Tensão da fonte (tensão final no capacitor): V_{0}=12\\ \text{V}.
    A tensão no capacitor ao longo do tempo é dada por
V_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-t / R C}\right).
As perguntas são:
a) Determinar a constante de tempo do circuito.
b) Determinar a tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo.
c) Determinar o tempo aproximado para o capacitor atingir 95\% da tensão da fonte.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A constante de tempo de um circuito RC em série é definida por
\tau = R C,
onde:
  • \tau é a constante de tempo, em segundos ( \text{s});
  • R é a resistência, em ohms ( \Omega);
  • C é a capacitância, em farads ( \text{F}).
    Fisicamente, \tau é o tempo característico do circuito: após um tempo t=\tau o capacitor atinge cerca de 63{,}2\% da tensão final V_{0}; mais precisamente V_C(\tau)=V_0(1-e^{-1}) porque e^{-1}\approx0{,}3679 e 1-e^{-1}\approx0{,}6321.
  • Para encontrar o tempo t necessário para atingir uma fração k da tensão final (ou seja V_C(t)=kV_0, com 0<k<1), resolvemos
k = 1 - e^{-t/\tau}
para t. Isolando a exponencial e aplicando o logaritmo natural,
e^{-t/\tau}=1-k\quad\Rightarrow\quad -\frac{t}{\tau}=\ln(1-k)\quad\Rightarrow\quad t=-\tau\ln(1-k).
No caso k=0{,}95, isso vira t=-\tau\ln(0{,}05). Note que -\ln(0{,}05)=\ln(20).

Passo 3

Cálculo da constante de tempo \tau (conversão de unidades e conta passo a passo):
  • Converter R e C para unidades SI: R = 10\\ \text{k}\Omega = 10\,000\\ \Omega, \qquad C = 220\\ \mu\text{F} = 220\times10^{-6}\\ \text{F} = 0{,}00022\\ \text{F}.
  • Calcular \tau = R C:
\tau = 10\,000 \times 220\times10^{-6} = 10\,000 \times 0{,}00022 = 2{,}2\\ \text{s}.
Portanto a constante de tempo é \tau = 2{,}2\\ \text{s}.

Passo 4

Tensão no capacitor após um intervalo igual a uma constante de tempo ( t=\tau):
  • Usar a fórmula dada com t=\tau:
V_C(\tau)=V_{0}\left(1-e^{-\tau/\tau}\right)=V_{0}\left(1-e^{-1}\right).
  • Substituir V_{0}=12\\ \text{V} e o valor numérico de e^{-1}:
V_C(\tau)=12\left(1-e^{-1}\right)=12\left(1-0{,}3678794412\ldots\right)=12\times0{,}6321205588\ldots
V_C(\tau)\approx 7{,}58544671\\ \text{V}.
Arredondando de forma prática para a prova: V_C(\tau)\approx 7{,}59\\ \text{V}. (Isso confirma a ideia: em \tau o capacitor atinge cerca de 63{,}2\% do valor final.)

Passo 5

Tempo para o capacitor atingir 95\% de V_{0}:
  • Começamos de V_C(t)=0{,}95\,V_{0}. Usando a fórmula:
0{,}95 = 1 - e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=0{,}05.
  • Isolando t:
-\frac{t}{\tau}=\ln(0{,}05)\quad\Rightarrow\quad t=-\tau\ln(0{,}05)=\tau\ln(20).
  • Substituir \tau=2{,}2\\ \text{s} e calcular \ln(20)\approx2{,}995732274:
t \approx 2{,}2\times2{,}995732274 \approx 6{,}590610.
Arredondando para prática de prova: t\approx 6{,}59\\ \text{s}. Observação intuitiva: isso é cerca de 3\tau (pois 3\tau=6{,}6\\ \text{s}), e de fato após 3\tau o capacitor atinge aproximadamente 95\% da carga — boa checagem de consistência.

Resposta

a) \tau = 2{,}2\\ \text{s}
b) V_C(\tau)\approx 7{,}59\\ \text{V}
c) t_{95\%}\approx 6{,}59\\ \text{s}

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