Em outro experimento, um capacitor inicialmente carregado com 9 V é conectado a um resistor de 4,7 k \Omega, iniciando o processo de descarga. O capacitor possui capacitância de 470 \mu F.
A tensão durante a descarga é descrita por:
V_{C}(t)=V_{0} e^{-t / R C}
Com base nessas informações, responda:
a) Qual é a constante de tempo do circuito? b) Qual será a tensão no capacitor após 2 s ?
c) Após quanto tempo a tensão cairá para aproximadamente 10 \% do valor inicial?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (peguei do enunciado):
  • Tensão inicial do capacitor: V_{0}=9\\ \text{V}.
  • Resistência: R=4{,}7\\ \text{k}\Omega.
  • Capacitância: C=470\\ \mu\text{F}.
  • Equação da descarga: V_{C}(t)=V_{0} e^{-t/(R C)}.
Perguntas:
a) Qual é a constante de tempo do circuito?
b) Qual será a tensão no capacitor após 2\\ \text{s}?
c) Após quanto tempo a tensão cairá para aproximadamente 10\% do valor inicial?

Passo 2

Primeiro, transformar as unidades para o SI (unidades básicas) porque a fórmula \tau = R C exige R em ohms e C em farads.
  • Converter R: R=4{,}7\\ \text{k}\Omega=4{,}7\times10^{3}\\ \Omega. Em TeX: R=4{,}7\times10^{3}\\ \Omega.
  • Converter C: C=470\\ \mu\text{F}=470\times10^{-6}\\ \text{F}. Em TeX: C=470\times10^{-6}\\ \text{F}.
Explicação do que é a constante de tempo: a constante de tempo \tau (tau) do circuito RC é o produto \tau = R C. Ela tem unidade de segundos e dá a escala de tempo da descarga. Depois de um tempo \tau a tensão terá caído para 1/e (aprox. 36{,}8\%) do valor inicial.

Passo 3

Calcular a constante de tempo \tau.
Usar a fórmula:
\tau = R C.
Substituindo os valores (mostrar passo a passo):
R = 4{,}7\times10^{3}\\ \Omega, \qquad C = 470\times10^{-6}\\ \text{F}.
Multiplicando:
\tau = \left(4{,}7\times10^{3}\right)\left(470\times10^{-6}\right)\\ \text{s}.
Fazer a conta separando coeficientes e potências de 10:
4{,}7\times470 = 4{,}7\times470 = 2209,
e
10^{3}\times10^{-6}=10^{-3}.
Portanto
\tau = 2209\times10^{-3}\\ \text{s}=2{,}209\\ \text{s}.
Arredondando para duas casas significativas compatíveis com os dados:
\tau \approx 2{,}21\\ \text{s}.

Passo 4

Agora calcular a tensão após 2\\ \text{s}. Relembrando a fórmula da descarga:
V_{C}(t)=V_{0} e^{-t/(R C)} = V_{0} e^{-t/\tau}.
Aqui V_{0} é a tensão inicial (em volts), t é o tempo (em segundos) e \tau é a constante de tempo (em segundos). Substituir V_{0}=9\\ \text{V}, t=2\\ \text{s} e \tau=2{,}209\\ \text{s}.
Calcular o expoente:
\frac{t}{\tau}=\frac{2}{2{,}209}\approx0{,}9059.
Então
V_{C}(2)=9\\ e^{-0{,}9059}.
Explicando como avaliar e^{-0{,}9059}: é a função exponencial decrescente. Numericamente,
e^{-0{,}9059}\approx0{,}4044
(isto pode ser obtido numa calculadora ou por tabelas de exponenciais; em prova normalmente usa-se calculadora para o exponencial).
Multiplicando:
V_{C}(2)\approx9\times0{,}4044\approx3{,}64\\ \text{V}.

Passo 5

Agora achar o tempo para a tensão chegar a 10\% do valor inicial, isto é V_{C}(t)=0{,}1\,V_{0}.
Partir da equação:
0{,}1\,V_{0}=V_{0} e^{-t/\tau}.
Dividir por V_{0} (não nula):
0{,}1=e^{-t/\tau}.
Tomar logaritmo natural dos dois lados:
\ln(0{,}1)=-\frac{t}{\tau}.
Lembrar que \ln(0{,}1)=\ln\!\left(\frac{1}{10}\right)=-\ln(10) e \ln(10)\approx2{,}302585. Assim:
-\ln(10)=-\frac{t}{\tau}\quad\Rightarrow\quad t=\tau\ln(10).
Substituindo \tau=2{,}209\\ \text{s}:
t=2{,}209\times2{,}302585\approx5{,}086\\ \text{s}.
Arredondando:
t\approx5{,}09\\ \text{s}.
Observação intuitiva: isso também mostra que chegar a 10\% leva cerca de 2{,}3026 vezes a constante de tempo (ou seja, t\approx2{,}30\,\tau).

Passo 6

Breve interpretação para fixar a ideia (ânimo!):
  • A constante de tempo \tau\approx2{,}21\\ \text{s} é a “escala temporal” do circuito.
  • Em t=\tau a tensão fica em \approx36{,}8\% de V_{0}.
  • Em t=2\\ \text{s} (um pouco menor que \tau) a tensão caiu para cerca de 3{,}64\\ \text{V}.
  • Para alcançar 10\% são necessários \approx5{,}09\\ \text{s}, ou seja \approx2{,}3\,\tau. Força aí — essas relações são muito úteis para estimar respostas rápidas em prova.

Resposta

a) \tau = 2{,}21\\ \text{s}
b) V_{C}(2\\ \text{s}) \approx 3{,}64\\ \text{V}
c) t \approx 5{,}09\\ \text{s}

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