Em outro experimento, um capacitor inicialmente carregado com
é conectado a um resistor de
, iniciando o processo de descarga. O capacitor possui capacitância de
.
A tensão durante a descarga é descrita por:
Com base nessas informações, responda:
a) Qual é a constante de tempo do circuito? b) Qual será a tensão no capacitor após
?
c) Após quanto tempo a tensão cairá para aproximadamente
do valor inicial?
a) Qual é a constante de tempo do circuito? b) Qual será a tensão no capacitor após
c) Após quanto tempo a tensão cairá para aproximadamente
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (peguei do enunciado):
- Tensão inicial do capacitor:
. - Resistência:
. - Capacitância:
. - Equação da descarga:
Perguntas:
a) Qual é a constante de tempo do circuito?
b) Qual será a tensão no capacitor após ?
c) Após quanto tempo a tensão cairá para aproximadamente do valor inicial?
a) Qual é a constante de tempo do circuito?
b) Qual será a tensão no capacitor após
c) Após quanto tempo a tensão cairá para aproximadamente
Passo 2
Primeiro, transformar as unidades para o SI (unidades básicas) porque a fórmula
exige
em ohms e
em farads.
- Converter
: . Em TeX: . - Converter
: . Em TeX: .
Explicação do que é a constante de tempo: a constante de tempo
(tau) do circuito RC é o produto
. Ela tem unidade de segundos e dá a escala de tempo da descarga. Depois de um tempo
a tensão terá caído para
(aprox.
) do valor inicial.
Passo 3
Calcular a constante de tempo
.
Usar a fórmula:
Substituindo os valores (mostrar passo a passo):
Multiplicando:
Fazer a conta separando coeficientes e potências de 10:
e
Portanto
Arredondando para duas casas significativas compatíveis com os dados:
Passo 4
Agora calcular a tensão após
. Relembrando a fórmula da descarga:
Aqui
é a tensão inicial (em volts),
é o tempo (em segundos) e
é a constante de tempo (em segundos). Substituir
,
e
.
Calcular o expoente:
Então
Explicando como avaliar
: é a função exponencial decrescente. Numericamente,
(isto pode ser obtido numa calculadora ou por tabelas de exponenciais; em prova normalmente usa-se calculadora para o exponencial).
Multiplicando:
Passo 5
Agora achar o tempo para a tensão chegar a
do valor inicial, isto é
.
Partir da equação:
Dividir por
(não nula):
Tomar logaritmo natural dos dois lados:
Lembrar que
e
. Assim:
Substituindo
:
Arredondando:
Observação intuitiva: isso também mostra que chegar a
leva cerca de
vezes a constante de tempo (ou seja,
).
Passo 6
Breve interpretação para fixar a ideia (ânimo!):
- A constante de tempo
é a “escala temporal” do circuito. - Em
a tensão fica em de . - Em
(um pouco menor que ) a tensão caiu para cerca de . - Para alcançar
são necessários , ou seja . Força aí — essas relações são muito úteis para estimar respostas rápidas em prova.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)