Em um experimento de laboratório para verificar a Primeira Lei de Ohm ( V= R \cdot I ), um estudante mede a diferença de potencial em um resistor e a corrente que o atravessa. As medidas obtidas são:
  • Diferença de potencial: V=(12,0 \pm 0,2) \mathrm{V}
  • Corrente elétrica: I=(0,250 \pm 0,005) \mathrm{A}
Sabendo que a resistência elétrica é dada por R=\frac{V}{I} e que, para pequenas incertezas relativas, vale a aproximação
\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^{2}=\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta I}{I}\right)^{2},
assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da resistência com sua incerteza e a incerteza relativa em porcentagem.
a) R=(48,0 \pm 0,5) \Omega; incerteza relativa \approx 1,0 \%
b) R=(48,0 \pm 1,3) \Omega; incerteza relativa \approx 2,6 \%
c) R=(48,0 \pm 1,0) \Omega; incerteza relativa \approx 2,1 \%
d) R=(48,0 \pm 0,3) \Omega; incerteza relativa \approx 0,6
e) R=(48,0 \pm 1,8) \Omega; incerteza relativa \approx 3,7 \%

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Medidas fornecidas:
    • Diferença de potencial: V=(12,0\pm0,2)\\ \mathrm{V}.
    • Corrente: I=(0,250\pm0,005)\\ \mathrm{A}.
  • Fórmula para a resistência: R=\dfrac{V}{I}.
  • Fórmula de propagação (válida para incertezas pequenas e independentes): \left(\frac{\Delta R}{R}\right)^{2}=\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta I}{I}\right)^{2}.
  • O enunciado pede o valor de R com sua incerteza absoluta \Delta R e a incerteza relativa em porcentagem. Em seguida, devemos assinalar a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Calcular o valor nominal de R (sem incerteza) usando R=\dfrac{V}{I}.
R=\dfrac{12,0}{0,250}=48,0\\ \Omega.
Explicação curta: dividiu-se o valor central da tensão pelo valor central da corrente.

Passo 3

Calcular as incertezas relativas individuais de V e I.
  • Incerteza relativa de V:
    \frac{\Delta V}{V}=\frac{0,2}{12,0}=0,016\overline{6}\approx0,016667.
    Em porcentagem: 0,016667\times100\%=1,6667\%.
  • Incerteza relativa de I:
    \frac{\Delta I}{I}=\frac{0,005}{0,250}=0,02.
    Em porcentagem: 0,02\times100\%=2,0\%.
Breve aula: a incerteza relativa é a fração da incerteza absoluta sobre o valor medido; é útil porque para produtos/razões as incertezas relativas combinam de forma simples.

Passo 4

Aplicar a fórmula de propagação para obter a incerteza relativa de R.
\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^{2}=(0,016667)^{2}+(0,02)^{2}.
Calculemos os quadrados:
(0,016667)^{2}=0,00027778\quad\text{e}\quad(0,02)^{2}=0,0004.
Somando:
\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^{2}=0,00027778+0,0004=0,00067778.
Tomando raiz:
\frac{\Delta R}{R}=\sqrt{0,00067778}\approx0,026036.
Em porcentagem:
0,026036\times100\%\approx2,6036\%\approx2,6\%.
Comentário didático: a fórmula usada vem da diferenciação logarítmica de R=V/I, que dá dR/R=dV/V-dI/I; para erros independentes e pequenos, as variâncias somam, daí a soma dos quadrados das incertezas relativas.

Passo 5

Calcular a incerteza absoluta \Delta R e arredondamento correto.
\Delta R = R\cdot\frac{\Delta R}{R}=48,0\times0,026036\approx1,2497\\ \Omega.
Regra prática para arredondar incertezas: normalmente apresenta-se a incerteza com uma algarismo significativo (ou dois se o primeiro for 1). Aqui 1,2497 aproxima-se a 1,3\\ \Omega (um algarismo significativo). Então a resistência deve ser expressa com o mesmo nível de casa decimal que a incerteza:
R=(48,0\pm1,3)\\ \Omega.
Observação: se alguém preferir manter dois algarismos na incerteza, daria 1,25\\ \Omega, mas o formato padrão usado nas alternativas é com um algarismo na incerteza.

Passo 6

Resumo dos resultados e comparação com as alternativas.
  • Valor calculado: R=(48,0\pm1,3)\\ \Omega.
  • Incerteza relativa: \approx2,6\%.
Isso corresponde exatamente à alternativa b).

Resposta

b) R=(48,0\pm1,3)\\ \Omega; incerteza relativa \approx2,6\%

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