Em um experimento de liberação gasosa, observa-se uma média de 4 eventos por minuto. a) Qual é a probabilidade de que, em 30 segundos, não ocorra nenhum evento? b) Explique por que é necessário ajustar o parâmetro da distribuição ao mudar a unidade de tempo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro do que temos e do que é pedido):
  • Dado: a média é de 4 eventos por minuto (ou seja, em cada intervalo de 1 minuto espera-se em média 4 eventos).
  • Pergunta (a): Qual é a probabilidade de que, em 30 segundos, não ocorra nenhum evento?
  • Pergunta (b): Explique por que é necessário ajustar o parâmetro da distribuição ao mudar a unidade de tempo (por exemplo, de minutos para segundos).

Passo 2

Qual distribuição usar e por quê (introdução didática, sem pular etapas).
  • Quando eventos ocorrem aleatoriamente no tempo e a taxa média por unidade de tempo é constante, um modelo natural é a distribuição de Poisson para o número de eventos em um intervalo fixo.
  • A variável aleatória que conta eventos em um intervalo tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à média esperada de eventos nesse intervalo.
  • Vamos escrever isso com símbolos: seja \lambda a taxa média de eventos por unidade de tempo (aqui a unidade é “por minuto”) e seja t o comprimento do intervalo em unidades de tempo (em minutos). Então a média (esperança) de eventos no intervalo de comprimento t é
\mu = \lambda\,t.
  • A probabilidade de ocorrer exatamente k eventos no intervalo é dada por
P(K=k)=\frac{\mu^{k} e^{-\mu}}{k!},
onde \mu é a média no intervalo considerado, k! é fatorial de k e e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx2,71828).

Passo 3

Ajustando o parâmetro para o intervalo de 30 segundos (cálculo do \mu para o intervalo pedido).
  • Aqui foi dado que a taxa é \lambda=4 eventos por minuto.
  • O intervalo pedido é 30 segundos, ou seja metade de um minuto; em minutos isso é t=0{,}5.
  • Usando \mu=\lambda t obtemos:
\mu = 4 \times 0{,}5 = 2.
  • Comentário intuitivo: esperar em média 4 eventos em 60 segundos equivale a esperar 2 eventos em 30 segundos — por isso a média escala proporcionalmente ao tempo.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de zero eventos usando a fórmula da Poisson.
  • Para k=0 a fórmula da Poisson fica
P(K=0)=\frac{\mu^{0} e^{-\mu}}{0!}=e^{-\mu},
pois \mu^{0}=1 e 0!=1.
  • Substituindo \mu=2:
P(K=0)=e^{-2}.

Passo 5

Aproximação numérica de e^{-2} de uma forma que dá para fazer sem calculadora (procedimento e valor).
  • Sabendo que e\approx2{,}71828, então e^{2}\approx(2{,}71828)^{2}.
  • Uma multiplicação aproximada: 2{,}72\times2{,}72=7{,}3984 (usar 2{,}72 é uma aproximação rápida de e); portanto e^{2}\approx7{,}389 é o valor conhecido mais preciso.
  • Assim e^{-2}=1/e^{2}\approx 1/7{,}389.
  • Fazendo a divisão aproximada 1/7{,}389\approx0{,}1353.
  • Conclusão: P(K=0)=e^{-2}\approx0{,}1353. (Se quiser, memorize que e^{-1}\approx0{,}3679 e portanto e^{-2}=(e^{-1})^{2}\approx0{,}1353.)

Passo 6

Explicação didática e intuitiva do porquê é necessário ajustar o parâmetro ao mudar a unidade de tempo (resposta para a parte b), com exemplos.
  • O parâmetro da Poisson para um intervalo é a média de eventos nesse intervalo; a média depende do comprimento do intervalo. Mudar a unidade de tempo (por exemplo de minutos para segundos) muda o valor numérico da taxa \lambda se \lambda for reescrito por unidade diferente, mas a média em um dado intervalo físico (por ex. 30 s) deve ser a mesma.
  • Dois modos equivalentes de proceder:
    1. Manter a taxa em “por minuto” e usar t em minutos: \mu=\lambda t=4\times0{,}5=2.
    2. Converter a taxa para “por segundo”: \lambda_{\text{seg}}=4/60=1/15 eventos por segundo. Para 30 s, \mu=\lambda_{\text{seg}}\times30=(1/15)\times30=2.
  • Por isso é necessário ajustar: a média \mu é proporcional ao comprimento do intervalo; se a unidade muda, a representação numérica da taxa muda de modo consistente para que \mu para o mesmo intervalo físico continue correta.
  • Exemplo rápido: se a taxa fosse 6 eventos por minuto, em 10 segundos (que é 1/6 de minuto) a média seria \mu=6\times(1/6)=1. Sem ajustar o parâmetro você poderia errar completamente o cálculo.

Passo 7

Resumo prático para a prova (passos rápidos que pode decorar e aplicar em exercícios):
  • Identifique a taxa \lambda na unidade dada.
  • Converta o comprimento do intervalo para a mesma unidade (ou converta \lambda para a unidade do intervalo).
  • Calcule \mu=\lambda t.
  • Use P(K=k)=\dfrac{\mu^{k} e^{-\mu}}{k!}. Para nenhum evento k=0 então P(K=0)=e^{-\mu}.

Resposta

a) P(\text{nenhum evento em }30\text{ s})=e^{-2}\approx0{,}1353
b) Porque o parâmetro da Poisson para um intervalo é a média de eventos nesse intervalo \mu=\lambda t; ao mudar a unidade de tempo é preciso ajustar \lambda ou t para que \mu represente corretamente a média no intervalo considerado.

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