Em um experimento de liberação gasosa, observa-se uma média de 4 eventos por minuto. a) Qual é a probabilidade de que, em 30 segundos, não ocorra nenhum evento? b) Explique por que é necessário ajustar o parâmetro da distribuição ao mudar a unidade de tempo.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro do que temos e do que é pedido):
- Dado: a média é de
eventos por minuto (ou seja, em cada intervalo de minuto espera-se em média eventos). - Pergunta (a): Qual é a probabilidade de que, em
segundos, não ocorra nenhum evento? - Pergunta (b): Explique por que é necessário ajustar o parâmetro da distribuição ao mudar a unidade de tempo (por exemplo, de minutos para segundos).
Passo 2
Qual distribuição usar e por quê (introdução didática, sem pular etapas).
- Quando eventos ocorrem aleatoriamente no tempo e a taxa média por unidade de tempo é constante, um modelo natural é a distribuição de Poisson para o número de eventos em um intervalo fixo.
- A variável aleatória que conta eventos em um intervalo tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à média esperada de eventos nesse intervalo.
- Vamos escrever isso com símbolos: seja
a taxa média de eventos por unidade de tempo (aqui a unidade é “por minuto”) e seja o comprimento do intervalo em unidades de tempo (em minutos). Então a média (esperança) de eventos no intervalo de comprimento é
- A probabilidade de ocorrer exatamente
eventos no intervalo é dada por
onde
é a média no intervalo considerado,
é fatorial de
e
é a base dos logaritmos naturais (
).
Passo 3
Ajustando o parâmetro para o intervalo de
segundos (cálculo do
para o intervalo pedido).
- Aqui foi dado que a taxa é
eventos por minuto. - O intervalo pedido é
segundos, ou seja metade de um minuto; em minutos isso é . - Usando
obtemos:
- Comentário intuitivo: esperar em média
eventos em segundos equivale a esperar eventos em segundos — por isso a média escala proporcionalmente ao tempo.
Passo 4
Cálculo da probabilidade de zero eventos usando a fórmula da Poisson.
- Para
a fórmula da Poisson fica
pois
e
.
- Substituindo
:
Passo 5
Aproximação numérica de
de uma forma que dá para fazer sem calculadora (procedimento e valor).
- Sabendo que
, então . - Uma multiplicação aproximada:
(usar é uma aproximação rápida de ); portanto é o valor conhecido mais preciso. - Assim
. - Fazendo a divisão aproximada
. - Conclusão:
. (Se quiser, memorize que e portanto .)
Passo 6
Explicação didática e intuitiva do porquê é necessário ajustar o parâmetro ao mudar a unidade de tempo (resposta para a parte b), com exemplos.
- O parâmetro da Poisson para um intervalo é a média de eventos nesse intervalo; a média depende do comprimento do intervalo. Mudar a unidade de tempo (por exemplo de minutos para segundos) muda o valor numérico da taxa
se for reescrito por unidade diferente, mas a média em um dado intervalo físico (por ex. s) deve ser a mesma. - Dois modos equivalentes de proceder:
- Manter a taxa em “por minuto” e usar
em minutos: . - Converter a taxa para “por segundo”:
eventos por segundo. Para s, .
- Manter a taxa em “por minuto” e usar
- Por isso é necessário ajustar: a média
é proporcional ao comprimento do intervalo; se a unidade muda, a representação numérica da taxa muda de modo consistente para que para o mesmo intervalo físico continue correta. - Exemplo rápido: se a taxa fosse
eventos por minuto, em segundos (que é de minuto) a média seria . Sem ajustar o parâmetro você poderia errar completamente o cálculo.
Passo 7
Resumo prático para a prova (passos rápidos que pode decorar e aplicar em exercícios):
- Identifique a taxa
na unidade dada. - Converta o comprimento do intervalo para a mesma unidade (ou converta
para a unidade do intervalo). - Calcule
. - Use
. Para nenhum evento então .
Resposta
a)
b) Porque o parâmetro da Poisson para um intervalo é a média de eventos nesse intervalo ; ao mudar a unidade de tempo é preciso ajustar
ou
para que
represente corretamente a média no intervalo considerado.
b) Porque o parâmetro da Poisson para um intervalo é a média de eventos nesse intervalo