Em um experimento de nutrição de ovinos, avaliou-se o efeito de 4 níveis de proteína bruta (PB) na dieta sobre o ganho de peso diário ( g dia { }^{-1} ) de cordeiros confinados, em delineamento inteiramente casualizado (DIC) com 5 repetições por tratamento.
Os níveis de PB foram: 12 \%, 14 \%, 16 \% e 18 \%, codificados como T1, T2, T3 e T4, respectivamente. Os ganhos de peso diário observados ( g dia ^{-1} ) foram:
Tratamento Rep 1 Rep 2 Rep 3 Rep 4 Rep 5
T1 (12%) 180 190 175 185 178=908
T2 (14%) 195 205 200 210. 198=1.253
T3 (16%) 210 220 215 225 218 . c=1.088
T4 (18%) 205 215 210 212 208=1.050

Pede-se:

a) Defina as hipóteses a serem testadas;
b) Apresente a Tabela da Análise de Variância (ANOVA) completa, incluindo as fontes de variação, graus de liberdade, soma dos quadrados, quadrados médios, valor de F calculado e valor de F tabelado (Demonstrar todos os cálculos). Considere um nível de significância de \alpha=0,05 e usem quatro casas decimais nos cálculos;
c) Houve diferença significativa entre os níveis de PB testados? Justifique sua resposta;
d) Comparar as médias utilizando o Teste de Tukey ( \alpha=5 \% ). Demonstrar os cálculos e concluir.

Passo 1

O enunciado dá um experimento em delineamento inteiramente casualizado com k=4 tratamentos (níveis de proteína: T1=12%, T2=14%, T3=16%, T4=18%) e r=5 repetições por tratamento, total N=20 observações. Os dados observados (ganho de peso diário, em g dia ^{-1}) estão na tabela fornecida; eu extraí os valores diretamente dessa tabela e calculei os somatórios mostrados abaixo.
Dados por tratamento (extraídos da tabela):
  • T1: 180,\;190,\;175,\;185,\;178. Soma T_1=908.
  • T2: 195,\;205,\;200,\;210,\;198. Soma T_2=1008.
  • T3: 210,\;220,\;215,\;225,\;218. Soma T_3=1088.
  • T4: 205,\;215,\;210,\;212,\;208. Soma T_4=1050.
Informações calculadas (a partir dos dados acima):
  • Total geral T = T_1+T_2+T_3+T_4 = 4054.
  • Número total de observações N=20.
  • Médias por tratamento:
    • \bar{Y}_{1\cdot} = \dfrac{908}{5} = 181{,}6000
    • \bar{Y}_{2\cdot} = \dfrac{1008}{5} = 201{,}6000
    • \bar{Y}_{3\cdot} = \dfrac{1088}{5} = 217{,}6000
    • \bar{Y}_{4\cdot} = \dfrac{1050}{5} = 210{,}0000
  • Média geral (grand mean): \bar{Y}_{\cdot\cdot} = \dfrac{T}{N} = \dfrac{4054}{20} = 202{,}7000.
O enunciado pede:
a) definir hipóteses a testar (teste de efeito de tratamento);
b) construir a ANOVA completa (SS, df, MS, F calculado e F tabelado) com \alpha=0{,}05;
c) dizer se há diferença significativa;
d) comparar médias com o teste de Tukey a 5\%, demonstrando cálculos.

Passo 2

Breve aula sobre a ideia da ANOVA (didática e passos):
  • Objetivo: checar se há evidência de que as médias dos tratamentos são diferentes. A hipótese nula é que todas as médias são iguais; a alternativa é que pelo menos uma difere.
  • Usamos decomposição da variabilidade total em: variabilidade entre tratamentos (efeito de tratamento) e variabilidade dentro (erro/resíduo).
  • Fórmulas principais que vamos usar: \text{SSTotal} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^r Y_{ij}^2 - \frac{T^2}{N},
\text{SStr} = \sum_{i=1}^k \frac{T_i^2}{r} - \frac{T^2}{N},
\text{SSE} = \text{SSTotal} - \text{SStr},
onde T_i é a soma do tratamento i, T é a soma total e N=k\cdot r.
  • Graus de liberdade:
    \mathrm{df}_{\text{total}} = N-1,\; \mathrm{df}_{\text{tr}} = k-1,\; \mathrm{df}_{\text{error}} = N-k.
  • Quadrados médios: \mathrm{MS}_{\text{tr}} = \dfrac{\text{SStr}}{k-1},\; \mathrm{MS}_e = \dfrac{\text{SSE}}{N-k}.
  • Estatística F = \dfrac{\mathrm{MS}_{\text{tr}}}{\mathrm{MS}_e}. Comparamos com F_{tab} para \alpha=0{,}05 e (k-1,N-k) graus de liberdade.

Passo 3

Cálculo das somas dos quadrados (mostrando contas):
Primeiro, calculei \sum Y_{ij}^2 somando os quadrados de todas as observações por tratamento:
  • Soma dos quadrados em T1: \sum Y^2_{1j} = 180^2+190^2+175^2+185^2+178^2 = 165034.
  • Soma dos quadrados em T2: \sum Y^2_{2j} = 195^2+205^2+200^2+210^2+198^2 = 203354.
  • Soma dos quadrados em T3: \sum Y^2_{3j} = 210^2+220^2+215^2+225^2+218^2 = 236874.
  • Soma dos quadrados em T4: \sum Y^2_{4j} = 205^2+215^2+210^2+212^2+208^2 = 220558.
Somando tudo:
\sum_{i,j} Y_{ij}^2 = 165034 + 203354 + 236874 + 220558 = 825820.
Termo de correção (correction term):
\text{CT} = \frac{T^2}{N} = \frac{4054^2}{20} = \frac{16\,434\,916}{20} = 821745{,}8000.
Agora as somas de quadrados:
\text{SSTotal} = \sum Y_{ij}^2 - \text{CT} = 825820 - 821745{,}8000 = 4074{,}2000.
\sum_{i=1}^{4}\frac{T_i^2}{r} = \frac{908^2}{5} + \frac{1008^2}{5} + \frac{1088^2}{5} + \frac{1050^2}{5}.
Cálculos:
\frac{908^2}{5} = \frac{824464}{5} = 164892{,}8000,
\frac{1008^2}{5} = \frac{1\,016\,064}{5} = 203212{,}8000,
\frac{1088^2}{5} = \frac{1\,183\,744}{5} = 236748{,}8000,
\frac{1050^2}{5} = \frac{1\,102\,500}{5} = 220500{,}0000.
Somando:
\sum_{i}\frac{T_i^2}{r} = 164892{,}8000 + 203212{,}8000 + 236748{,}8000 + 220500{,}0000 = 825354{,}4000.
Logo:
\text{SStr} = \sum_{i}\frac{T_i^2}{r} - \text{CT} = 825354{,}4000 - 821745{,}8000 = 3608{,}6000.
E finalmente:
\text{SSE} = \text{SSTotal} - \text{SStr} = 4074{,}2000 - 3608{,}6000 = 465{,}6000.

Passo 4

Graus de liberdade e quadrados médios:
  • k=4,\; r=5,\; N=20.
  • \mathrm{df}_{\text{tr}} = k-1 = 3.
  • \mathrm{df}_{\text{error}} = N-k = 16.
  • \mathrm{df}_{\text{total}} = N-1 = 19.
Quadrados médios:
\mathrm{MS}_{\text{tr}} = \frac{\text{SStr}}{\mathrm{df}_{\text{tr}}} = \frac{3608{,}6000}{3} = 1202{,}8667.
\mathrm{MS}_e = \frac{\text{SSE}}{\mathrm{df}_{\text{error}}} = \frac{465{,}6000}{16} = 29{,}1000.
Estatística F:
F_{\text{calc}} = \frac{\mathrm{MS}_{\text{tr}}}{\mathrm{MS}_e} = \frac{1202{,}8667}{29{,}1000} = 41{,}3356.
Valor crítico da tabela F para \alpha=0{,}05, \mathrm{df}_1=3,\; \mathrm{df}_2=16 (retirado da tabela de F):
F_{0{,}05;3,16} \approx 3{,}2389.

Passo 5

Montagem da Tabela ANOVA (valores finais com 4 casas decimais onde aplicável):
Fonte de variação \mathrm{df} Soma dos Quadrados (SS) Quadrado Médio (MS) F calculado F_{tab}(\alpha=0{,}05)
Tratamentos 3 3608{,}6000 1202{,}8667 41{,}3356 3{,}2389
Erro (resíduo) 16 465{,}6000 29{,}1000
Total 19 4074{,}2000
(As somas e quadrados médios foram apresentadas com quatro casas decimais conforme solicitado.)

Passo 6

Interpretação do teste F (resposta à parte c)):
  • Como F_{\text{calc}} = 41{,}3356 é muito maior que F_{tab} = 3{,}2389, rejeita-se a hipótese nula ao nível de \alpha=0{,}05.
  • Conclusão: há diferença significativa entre as médias dos níveis de proteína bruta.

Passo 7

Preparação para o Teste de Tukey (comparações múltiplas) — pequena aula:
  • O teste de Tukey compara todas as diferenças de médias pareadas controlando o erro do tipo I para múltiplas comparações.
  • Estatística de comparação é baseada no valor crítico da distribuição studentizada de amplitude q (tabela de q), e o menor diferença significativa (HSD) é: \text{HSD} = q_{\alpha;k,N-k}\,\sqrt{\frac{\mathrm{MS}_e}{r}}.
  • Aqui k=4,\; r=5,\; \mathrm{MS}_e = 29{,}1000. Primeiro calculamos o erro-padrão das diferenças de duas médias: SE = \sqrt{\frac{\mathrm{MS}_e}{r}} = \sqrt{\frac{29{,}1000}{5}} = \sqrt{5{,}8200} = 2{,}4125\\ (\text{arred. }4\text{ casas}).
  • Valor crítico q (tabela de studentized range) para \alpha=0{,}05, k=4 e df_{\text{error}}=16: q_{0{,}05;4;16}\approx 3{,}7710 (valor de tabela, aproximado com 4 casas decimais).

Passo 8

Cálculo da HSD e comparação das médias:
\text{HSD} = q\cdot SE = 3{,}7710 \times 2{,}4125 = 9{,}0958.
Médias dos tratamentos (repetindo para comparação):
  • \bar{Y}_{1\cdot} = 181{,}6000
  • \bar{Y}_{2\cdot} = 201{,}6000
  • \bar{Y}_{3\cdot} = 217{,}6000
  • \bar{Y}_{4\cdot} = 210{,}0000
Diferenças absolutas entre pares (com 4 casas decimais):
  • |\bar{Y}_{2\cdot}-\bar{Y}_{1\cdot}| = 20{,}0000
  • |\bar{Y}_{3\cdot}-\bar{Y}_{1\cdot}| = 36{,}0000
  • |\bar{Y}_{4\cdot}-\bar{Y}_{1\cdot}| = 28{,}4000
  • |\bar{Y}_{3\cdot}-\bar{Y}_{2\cdot}| = 16{,}0000
  • |\bar{Y}_{3\cdot}-\bar{Y}_{4\cdot}| = 7{,}6000
  • |\bar{Y}_{4\cdot}-\bar{Y}_{2\cdot}| = 8{,}4000
Compare cada diferença com \text{HSD}=9{,}0958:
  • 20,0000 > 9,0958 \Rightarrow T2 ≠ T1 (significativo).
  • 36,0000 > 9,0958 \Rightarrow T3 ≠ T1 (significativo).
  • 28,4000 > 9,0958 \Rightarrow T4 ≠ T1 (significativo).
  • 16,0000 > 9,0958 \Rightarrow T3 ≠ T2 (significativo).
  • 7,6000 < 9,0958 \Rightarrow T3 = T4 (não significativo).
  • 8,4000 < 9,0958 \Rightarrow T4 = T2 (não significativo).

Passo 9

Interpretação final do Tukey (resposta à parte d)):
  • T1 (12% PB) tem média significativamente menor que T2, T3 e T4.
  • T3 (16% PB) tem média significativamente maior que T2 (14% PB) e que T1, mas não difere de T4 (18% PB).
  • T4 (18% PB) é significativamente maior que T1, mas não difere de T2 nem de T3 (com base no HSD).
  • T2 (14% PB) é maior que T1, mas menor que T3 (diferença significativa), e não difere de T4.
Uma forma de agrupar (letras) conforme significância:
  • T3: A
  • T4: A B
  • T2: B
  • T1: C
Isto significa: T3 (maior) não difere de T4; T4 não difere de T2; T2 não difere de T4; T1 é o grupo significativamente mais baixo.

Resposta

a) H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4.
H_A: pelo menos uma média é diferente das demais.
b) ANOVA:
Tratamentos: \mathrm{df}=3,\; \text{SS}=3608{,}6000,\; \text{MS}=1202{,}8667,\; F=41{,}3356,\; F_{tab}(0{,}05;3,16)=3{,}2389.
Erro: \mathrm{df}=16,\; \text{SS}=465{,}6000,\; \text{MS}=29{,}1000.
Total: \mathrm{df}=19,\; \text{SS}=4074{,}2000.
c) Sim. Há diferença significativa entre os níveis de PB, pois F_{calc}=41{,}3356>F_{tab}=3{,}2389 (rejeita-se H_0 a \alpha=0{,}05).
d) Teste de Tukey ( \alpha=0{,}05, q_{0{,}05;4;16}\approx3{,}7710, SE=\sqrt{\mathrm{MS}_e/r}=2{,}4125, \text{HSD}=9{,}0958):
  • Médias: T1=181,6000; T2=201,6000; T3=217,6000; T4=210,0000.
  • Comparações significativas ( |\Delta|> HSD): T2 vs T1, T3 vs T1, T4 vs T1, T3 vs T2.
  • Não significativas: T3 vs T4, T4 vs T2.
    Conclusão prática: T1 é significativamente menor que os demais; T3 é o maior e difere de T2 (mas não de T4); T4 fica entre T3 e T2 (não difere de T2 nem de T3).

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