Em um experimento de nutrição de ovinos, avaliou-se o efeito de 4 níveis de proteína bruta (PB) na dieta sobre o ganho de peso diário ( g dia
) de cordeiros confinados, em delineamento inteiramente casualizado (DIC) com 5 repetições por tratamento.
Os níveis de PB foram:
e
, codificados como T1, T2, T3 e T4, respectivamente. Os ganhos de peso diário observados ( g dia
) foram:
Tratamento
Rep 1
Rep 2
Rep 3
Rep 4
Rep 5
T1 (12%)
180
190
175
185
T2 (14%)
195
205
200
210.
T3 (16%)
210
220
215
225
218 .
T4 (18%)
205
215
210
212
Pede-se:
a) Defina as hipóteses a serem testadas;
b) Apresente a Tabela da Análise de Variância (ANOVA) completa, incluindo as fontes de variação, graus de liberdade, soma dos quadrados, quadrados médios, valor de F calculado e valor de F tabelado (Demonstrar todos os cálculos). Considere um nível de significância de
e usem quatro casas decimais nos cálculos;
c) Houve diferença significativa entre os níveis de PB testados? Justifique sua resposta;
d) Comparar as médias utilizando o Teste de Tukey (
). Demonstrar os cálculos e concluir.
| Tratamento | Rep 1 | Rep 2 | Rep 3 | Rep 4 | Rep 5 | |
| T1 (12%) | 180 | 190 | 175 | 185 |
|
|
| T2 (14%) | 195 | 205 | 200 | 210. |
|
|
| T3 (16%) | 210 | 220 | 215 | 225 | 218 .
|
|
| T4 (18%) | 205 | 215 | 210 | 212 |
|
b) Apresente a Tabela da Análise de Variância (ANOVA) completa, incluindo as fontes de variação, graus de liberdade, soma dos quadrados, quadrados médios, valor de F calculado e valor de F tabelado (Demonstrar todos os cálculos). Considere um nível de significância de
c) Houve diferença significativa entre os níveis de PB testados? Justifique sua resposta;
d) Comparar as médias utilizando o Teste de Tukey (
Passo 1
O enunciado dá um experimento em delineamento inteiramente casualizado com
tratamentos (níveis de proteína: T1=12%, T2=14%, T3=16%, T4=18%) e
repetições por tratamento, total
observações. Os dados observados (ganho de peso diário, em g dia
) estão na tabela fornecida; eu extraí os valores diretamente dessa tabela e calculei os somatórios mostrados abaixo.
Dados por tratamento (extraídos da tabela):
- T1:
. Soma . - T2:
. Soma . - T3:
. Soma . - T4:
. Soma .
Informações calculadas (a partir dos dados acima):
- Total geral
. - Número total de observações
. - Médias por tratamento:
-
- Média geral (grand mean):
.
O enunciado pede:
a) definir hipóteses a testar (teste de efeito de tratamento);
b) construir a ANOVA completa (SS, df, MS, calculado e
tabelado) com
;
c) dizer se há diferença significativa;
d) comparar médias com o teste de Tukey a , demonstrando cálculos.
a) definir hipóteses a testar (teste de efeito de tratamento);
b) construir a ANOVA completa (SS, df, MS,
c) dizer se há diferença significativa;
d) comparar médias com o teste de Tukey a
Passo 2
Breve aula sobre a ideia da ANOVA (didática e passos):
- Objetivo: checar se há evidência de que as médias dos tratamentos são diferentes. A hipótese nula é que todas as médias são iguais; a alternativa é que pelo menos uma difere.
- Usamos decomposição da variabilidade total em: variabilidade entre tratamentos (efeito de tratamento) e variabilidade dentro (erro/resíduo).
- Fórmulas principais que vamos usar:
onde
é a soma do tratamento
,
é a soma total e
.
- Graus de liberdade:
- Quadrados médios:
- Estatística
. Comparamos com para e graus de liberdade.
Passo 3
Cálculo das somas dos quadrados (mostrando contas):
Primeiro, calculei somando os quadrados de todas as observações por tratamento:
Primeiro, calculei
- Soma dos quadrados em T1:
- Soma dos quadrados em T2:
- Soma dos quadrados em T3:
- Soma dos quadrados em T4:
Somando tudo:
Termo de correção (correction term):
Agora as somas de quadrados:
Cálculos:
Somando:
Logo:
E finalmente:
Passo 4
Graus de liberdade e quadrados médios:
-
. -
-
-
Quadrados médios:
Estatística
:
Valor crítico da tabela
para
,
(retirado da tabela de
):
Passo 5
Montagem da Tabela ANOVA (valores finais com 4 casas decimais onde aplicável):
| Fonte de variação |
|
Soma dos Quadrados (SS) | Quadrado Médio (MS) |
|
|
|---|---|---|---|---|---|
| Tratamentos |
|
|
|
|
|
| Erro (resíduo) |
|
|
|
— | — |
| Total |
|
|
— | — | — |
(As somas e quadrados médios foram apresentadas com quatro casas decimais conforme solicitado.)
Passo 6
Interpretação do teste
(resposta à parte c)):
- Como
é muito maior que , rejeita-se a hipótese nula ao nível de . - Conclusão: há diferença significativa entre as médias dos níveis de proteína bruta.
Passo 7
Preparação para o Teste de Tukey (comparações múltiplas) — pequena aula:
- O teste de Tukey compara todas as diferenças de médias pareadas controlando o erro do tipo I para múltiplas comparações.
- Estatística de comparação é baseada no valor crítico da distribuição studentizada de amplitude
(tabela de ), e o menor diferença significativa (HSD) é: - Aqui
. Primeiro calculamos o erro-padrão das diferenças de duas médias: - Valor crítico
(tabela de studentized range) para , e : (valor de tabela, aproximado com 4 casas decimais).
Passo 8
Cálculo da HSD e comparação das médias:
Médias dos tratamentos (repetindo para comparação):
Diferenças absolutas entre pares (com 4 casas decimais):
Compare cada diferença com
:
- 20,0000
9,0958 T2 ≠ T1 (significativo). - 36,0000
9,0958 T3 ≠ T1 (significativo). - 28,4000
9,0958 T4 ≠ T1 (significativo). - 16,0000
9,0958 T3 ≠ T2 (significativo). - 7,6000
9,0958 T3 = T4 (não significativo). - 8,4000
9,0958 T4 = T2 (não significativo).
Passo 9
Interpretação final do Tukey (resposta à parte d)):
- T1 (12% PB) tem média significativamente menor que T2, T3 e T4.
- T3 (16% PB) tem média significativamente maior que T2 (14% PB) e que T1, mas não difere de T4 (18% PB).
- T4 (18% PB) é significativamente maior que T1, mas não difere de T2 nem de T3 (com base no HSD).
- T2 (14% PB) é maior que T1, mas menor que T3 (diferença significativa), e não difere de T4.
Uma forma de agrupar (letras) conforme significância:
- T3: A
- T4: A B
- T2: B
- T1: C
Isto significa: T3 (maior) não difere de T4; T4 não difere de T2; T2 não difere de T4; T1 é o grupo significativamente mais baixo.
Resposta
a)
.
pelo menos uma média é diferente das demais.
b) ANOVA:
Tratamentos: .
Erro: .
Total: .
Tratamentos:
Erro:
Total:
c) Sim. Há diferença significativa entre os níveis de PB, pois
(rejeita-se
a
).
d) Teste de Tukey (
,
,
,
):
- Médias: T1=181,6000; T2=201,6000; T3=217,6000; T4=210,0000.
- Comparações significativas (
HSD): T2 vs T1, T3 vs T1, T4 vs T1, T3 vs T2. - Não significativas: T3 vs T4, T4 vs T2.
Conclusão prática: T1 é significativamente menor que os demais; T3 é o maior e difere de T2 (mas não de T4); T4 fica entre T3 e T2 (não difere de T2 nem de T3).