Determine a solução geral das equações diferenciais homogêneas:
\underbrace{(x+y) d x+(y-x) d y}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
  • A equação é (x+y)\,dx+(y-x)\,dy=0.
  • Não há outras condições iniciais; queremos a solução geral (constante arbitrária).
  • As funções que multiplicam dx e dy são \,M(x,y)=x+y e \,N(x,y)=y-x.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma com \dfrac{dy}{dx}. Para isso dividimos toda a equação por dx (assumindo dx\neq0) e isolamos \dfrac{dy}{dx}:
(x+y) + (y-x)\frac{dy}{dx}=0
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{y-x}.
Explicando devagar: escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots é útil porque nos permite aplicar substituições que simplificam a relação entre y e x.

Passo 3

Observação útil (explicação do raciocínio): as expressões x+y e y-x são homogêneas do mesmo grau em x,y (grau 1). Quando isso acontece, uma estratégia clássica é usar a substituição
y=vx,
onde v é uma nova função de x. Essa substituição transforma a equação em uma equação em v e x que muitas vezes é separável. Também precisamos da expressão para \dfrac{dy}{dx} em função de v:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Isto vem de derivar y=v(x)\,x pelo produto: dy/dx = v + x dv/dx.

Passo 4

Substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x+y}{y-x}. Primeiro escrevemos o lado direito em v:
-\frac{x+y}{y-x} = -\frac{x+vx}{vx-x} = -\frac{x(1+v)}{x(v-1)} = -\frac{1+v}{v-1}.
Portanto a equação torna-se
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v}{v-1}.
Agora isolamos x\dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v}{v-1} - v.
Fazemos a simplificação algébrica com calma: coloque tudo sobre o mesmo denominador v-1:
-\frac{1+v}{v-1} - v = -\frac{1+v}{v-1} - \frac{v(v-1)}{v-1} = \frac{-(1+v) - v(v-1)}{v-1}.
Desenvolvendo o numerador:
-(1+v) - v(v-1) = -1 - v - v^2 + v = -1 - v^2.
Logo
x\frac{dv}{dx} = \frac{-1 - v^2}{v-1} = -\frac{1+v^2}{v-1}.

Passo 5

Agora separemos as variáveis v e x. Reescrevendo:
\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v^2}{x(v-1)}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{v-1}{1+v^2} e por dx, obtemos uma forma separável:
\frac{v-1}{1+v^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Explicando: separar variáveis significa colocar todos os termos em v multiplicando dv do lado esquerdo e todos os termos em x multiplicando dx do lado direito, permitindo integrar cada lado independentemente.

Passo 6

Integramos os dois lados. Do lado esquerdo é conveniente dividir a fração:
\frac{v-1}{1+v^2} = \frac{v}{1+v^2} - \frac{1}{1+v^2}.
As primitivas conhecidas:
  • \displaystyle \int \frac{v}{1+v^2}\,dv = \frac{1}{2}\ln(1+v^2), porque a derivada de 1+v^2 é 2v.
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+v^2}\,dv = \arctan v.
    Portanto
\int \frac{v-1}{1+v^2}\,dv = \frac{1}{2}\ln(1+v^2) - \arctan v.
Do lado direito,
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Igualando as primitivas:
\frac{1}{2}\ln(1+v^2) - \arctan v = -\ln|x| + C.

Passo 7

Voltamos à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+(\tfrac{y}{x})^2\bigr) - \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = -\ln|x| + C.
Agora juntamos os termos logarítmicos para simplificar. Observe que
1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2=\frac{x^2+y^2}{x^2},
logo
\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2\Bigr)+\ln|x| = \frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{x^2+y^2}{x^2}\Bigr)+\ln|x| = \frac{1}{2}\bigl(\ln(x^2+y^2)-\ln x^2\bigr)+\ln|x|.
Como \ln x^2=2\ln|x|, tem-se
\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2\Bigr)+\ln|x| = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)-\ln|x|+\ln|x| = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2).
Portanto a expressão simplifica para
\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) - \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = C,
onde renomeamos a constante de integração. Explicação sobre domínio: na substituição y=vx usamos x\neq0; a solução final é dada implicitamente e válida nos domínios onde as funções log e arco-tangente estão bem definidas (e onde a manipulação com |x| fez sentido). A constante C é arbitrária real.

Passo 8

Podemos apresentar formas alternativas equivalentes da solução geral, por exemplo multiplicando por 2:
\ln(x^2+y^2) - 2\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = C',
com C'=2C. Ambas as formas representam a mesma família de curvas implícitas.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-\arctan\!\bigl(\dfrac{y}{x}\bigr)=C

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