Determine a solução geral das equações diferenciais homogêneas: \underbrace{(x+y) d x+(y-x) d y}=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
A equação é (x+y)\,dx+(y-x)\,dy=0.
Não há outras condições iniciais; queremos a solução geral (constante arbitrária).
As funções que multiplicam dx e dy são \,M(x,y)=x+y e \,N(x,y)=y-x.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma com \dfrac{dy}{dx}. Para isso dividimos toda a equação por dx (assumindo dx\neq0) e isolamos \dfrac{dy}{dx}:
(x+y) + (y-x)\frac{dy}{dx}=0
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{y-x}.
Explicando devagar: escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots é útil porque nos permite aplicar substituições que simplificam a relação entre y e x.
Passo 3
Observação útil (explicação do raciocínio): as expressões x+y e y-x são homogêneas do mesmo grau em x,y (grau 1). Quando isso acontece, uma estratégia clássica é usar a substituição
y=vx,
onde v é uma nova função de x. Essa substituição transforma a equação em uma equação em v e x que muitas vezes é separável. Também precisamos da expressão para \dfrac{dy}{dx} em função de v:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Isto vem de derivar y=v(x)\,x pelo produto: dy/dx = v + x dv/dx.
Passo 4
Substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x+y}{y-x}. Primeiro escrevemos o lado direito em v:
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{v-1}{1+v^2} e por dx, obtemos uma forma separável:
\frac{v-1}{1+v^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Explicando: separar variáveis significa colocar todos os termos em v multiplicando dv do lado esquerdo e todos os termos em x multiplicando dx do lado direito, permitindo integrar cada lado independentemente.
Passo 6
Integramos os dois lados. Do lado esquerdo é conveniente dividir a fração:
onde renomeamos a constante de integração. Explicação sobre domínio: na substituição y=vx usamos x\neq0; a solução final é dada implicitamente e válida nos domínios onde as funções log e arco-tangente estão bem definidas (e onde a manipulação com |x| fez sentido). A constante C é arbitrária real.
Passo 8
Podemos apresentar formas alternativas equivalentes da solução geral, por exemplo multiplicando por 2: