Dadas as primitivas das curvas
, determine a equação diferencial de primeira orden para cada família de curvas integrais:
Passo 1
O enunciado dá uma família de curvas dependente de um parâmetro
:
O que é pedido: determinar a equação diferencial de primeira ordem cuja família geral de soluções é dada por essa expressão (ou seja, eliminar o parâmetro
e obter uma relação entre
,
e
).
Informações relevantes fornecidas:
- A família tem um parâmetro livre
. - A função incógnita é
(assume-se diferenciável em ). - A relação entre
, e é .
Passo 2
Estratégia padrão para esse tipo de problema (sem explicar o nome técnico aqui): diferenciar a relação dada em relação a
para introduzir
e depois eliminar
usando a própria relação original. Vamos fazer a diferenciação implícita passo a passo.
Derivando ambos os lados de
em relação a
, o lado esquerdo dá:
Para o lado direito,
é constante (parâmetro), e usamos a regra da cadeia para
. Se
, então
e
. Portanto
Igualando as derivadas:
Passo 3
Agora usamos a relação original para eliminar
. Da equação inicial temos
Substituindo isso na equação derivada obtida no passo anterior temos:
Passo 4
Resolvendo a equação obtida para
. Expandindo e agrupando termos com
:
Levo todos os termos com
para o lado esquerdo e o restante para o direito:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente isolando
(assumindo
):
Passo 5
Interpretação e verificação rápida: a equação
é a equação diferencial de primeira ordem que não contém mais o parâmetro
e cuja família de soluções gerais é exatamente a dada por
. Pode-se checar substituindo
de volta na relação antes de isolar e ver que a identidade obtida é satisfeita (passos algébricos feitos acima mostram essa consistência).
Força aí — deu trabalho, mas o caminho é sempre: diferenciar, substituir e isolar. Relaxa que esse padrão aparece várias vezes em prova!