Dadas as primitivas das curvas f(x, y, c)=0, determine a equação diferencial de primeira orden para cada família de curvas integrais:
x+y=c e^{x-y}

Passo 1

O enunciado dá uma família de curvas dependente de um parâmetro c:
x+y = c e^{x-y}.
O que é pedido: determinar a equação diferencial de primeira ordem cuja família geral de soluções é dada por essa expressão (ou seja, eliminar o parâmetro c e obter uma relação entre x, y e y'=\dfrac{dy}{dx}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A família tem um parâmetro livre c.
  • A função incógnita é y=y(x) (assume-se y diferenciável em x).
  • A relação entre x, y e c é \;x+y = c e^{x-y}.

Passo 2

Estratégia padrão para esse tipo de problema (sem explicar o nome técnico aqui): diferenciar a relação dada em relação a x para introduzir y' e depois eliminar c usando a própria relação original. Vamos fazer a diferenciação implícita passo a passo.
Derivando ambos os lados de
x+y = c e^{x-y}
em relação a x, o lado esquerdo dá:
\frac{d}{dx}(x+y)=1+y'.
Para o lado direito, c é constante (parâmetro), e usamos a regra da cadeia para e^{x-y(x)}. Se u(x)=x-y(x), então \dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u' e u'=1-y'. Portanto
\frac{d}{dx}\big(c e^{x-y}\big)=c e^{x-y}(1-y').
Igualando as derivadas:
1+y' = c e^{x-y}(1-y').

Passo 3

Agora usamos a relação original para eliminar c e^{x-y}. Da equação inicial temos
c e^{x-y}=x+y.
Substituindo isso na equação derivada obtida no passo anterior temos:
1+y'=(x+y)(1-y').

Passo 4

Resolvendo a equação obtida para y'. Expandindo e agrupando termos com y':
1+y' = (x+y) - (x+y)y'.
Levo todos os termos com y' para o lado esquerdo e o restante para o direito:
y' + (x+y)y' = (x+y)-1.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(1 + x + y\big) = x + y - 1.
Finalmente isolando y' (assumindo 1+x+y\neq 0):
y' = \frac{x+y-1}{1+x+y}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida: a equação
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y-1}{x+y+1}
é a equação diferencial de primeira ordem que não contém mais o parâmetro c e cuja família de soluções gerais é exatamente a dada por x+y=c e^{x-y}. Pode-se checar substituindo y' de volta na relação antes de isolar e ver que a identidade obtida é satisfeita (passos algébricos feitos acima mostram essa consistência).
Força aí — deu trabalho, mas o caminho é sempre: diferenciar, substituir e isolar. Relaxa que esse padrão aparece várias vezes em prova!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y-1}{x+y+1}

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