Questão 4 (0,5 pontos): Considere um gás de elétrons (fèrmions) e um gás de fótons (bósons) Qual dos dois sistemas tem um número maior de estados disponiveis em \mathrm{T}=1 \mathrm{~K} ? Justifique sua resposta. 33 ,

Passo 1

O enunciado pede que eu compare, a T=1\\ \mathrm{K}, qual dos dois sistemas — um gás de elétrons (férmions) ou um gás de fótons (bósons) — tem um número maior de estados disponíveis, e que eu justifique essa resposta. Informação dada explicitamente:
  • Temperatura: T=1\\ \mathrm{K}.
Vou interpretar “número de estados disponíveis” como o número de estados de uma única partícula que são termicamente acessíveis (ou seja, que podem ser ocupados/variam por efeitos térmicos) por unidade de volume. Essa é uma interpretação usual em física estatística quando se compara quantos modos/estados são relevantes a uma dada temperatura.

Passo 2

Vou estimar, por unidade de volume, a quantidade de estados termicamente acessíveis para cada gás:
  • Para fótons: calcular a densidade de modos (estados por unidade volume por frequência) e estimar o número de fótons/modos com energia da ordem de k_B T.
  • Para elétrons: considerar um gás livre de elétrons com densidade típica de elétrons de condução em um metal n_e\sim 10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}; os elétrons formam um gás degenerado com energia de Fermi E_F grande. Somente os estados num intervalo de energia da ordem de k_B T em torno de E_F são termicamente ativos. Vou calcular o número de estados acessíveis como g_e(E_F)\,k_B T (densidade de estados por unidade volume no nível de Fermi vezes a largura térmica k_B T).
Esses procedimentos serão desenvolvidos e justificados nas próximas etapas. As constantes que usarei (valores numéricos):
k_B = 1{,}381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},\qquad \hbar = 1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad c = 2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad m_e = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Cálculo para o gás de fótons (radiação de corpo negro): densidade de número de fótons por unidade de volume (número total de fótons por volume) é dada por
n_{\text{ph}}=\frac{2\zeta(3)}{\pi^2}\left(\frac{k_B T}{\hbar c}\right)^3,
onde \zeta(3)\approx1{,}202. Explico a fórmula: 2 vem das duas polarizações dos fótons; (k_B T/ \hbar c)^3 define a escala de comprimento inverso cúbica associada à energia térmica k_B T; o prefactor \tfrac{2\zeta(3)}{\pi^2} aparece da integração da distribuição de Bose-Einstein para número de fótons.
Agora avalio numericamente em T=1\\ \mathrm{K}.
Primeiro calculo a razão
\frac{k_B T}{\hbar c}=\frac{1{,}381\times10^{-23}}{(1{,}055\times10^{-34})(2{,}998\times10^{8})}.
Calculo numérico:
\hbar c = 1{,}055\times10^{-34}\times2{,}998\times10^8 \approx 3{,}166\times10^{-26}\\ \mathrm{J\cdot m},
\frac{k_B T}{\hbar c}\approx\frac{1{,}381\times10^{-23}}{3{,}166\times10^{-26}}\approx 4{,}36\times10^{2}.
Então
\left(\frac{k_B T}{\hbar c}\right)^3 \approx (4{,}36\times10^{2})^3 \approx 8{,}30\times10^{7}.
O prefactor numérico é
\frac{2\zeta(3)}{\pi^2}\approx\frac{2\times1{,}202}{\pi^2}\approx0{,}244.
Logo
n_{\text{ph}}\approx 0{,}244\times8{,}30\times10^{7}\approx 2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Interpretação: a densidade de fótons térmicos (modos ocupados) a 1\\ \mathrm{K} é da ordem de 10^{7} fótons por metro cúbico.

Passo 4

Cálculo para o gás de elétrons (férmions) — ideia e fórmulas:
  • Para um gás livre de elétrons em 3D, a densidade total de elétrons n_e está relacionada à energia de Fermi E_F. A densidade de estados por unidade de volume e por energia (incluindo fator de spin 2) para elétrons livres é
g_e(E)=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E}.
  • O número de estados termicamente ativos (por unidade de volume) é aproximadamente a densidade de estados no nível de Fermi multiplicada pela largura térmica k_B T:
N_{\text{act},e}\approx g_e(E_F)\,k_B T.
Um atalho prático usa a relação entre g_e(E_F) e n_e. Para gás livre
n_e=\int_0^{E_F} g_e(E)\,dE=\frac{1}{3}g_e(E_F)E_F \quad\Longrightarrow\quad g_e(E_F)=\frac{3n_e}{E_F}.
Portanto
N_{\text{act},e}\approx \frac{3n_e}{E_F}\,k_B T.
Vou tomar como valor típico de densidade eletrônica em um metal n_e\sim 1\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}} (valor típico e suficiente para comparação qualitativa). Preciso de E_F consistente com esse n_e; calcular E_F pela fórmula do gás livre:
E_F=\frac{\hbar^2}{2m_e}(3\pi^2 n_e)^{2/3}.
Calculo numérico com n_e=1\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}:
3\pi^2 n_e \approx 3\pi^2\times10^{28}\approx 2{,}9609\times10^{29},
(3\pi^2 n_e)^{2/3}\approx 4{,}43\times10^{19},
\frac{\hbar^2}{2m_e}=\frac{(1{,}055\times10^{-34})^2}{2\times9{,}11\times10^{-31}}\approx 6{,}11\times10^{-39}\\ \mathrm{J\cdot m^2}.
Assim
E_F\approx 6{,}11\times10^{-39}\times4{,}43\times10^{19}\approx 2{,}71\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 1{,}7\\ \mathrm{eV}.
Agora calculo N_{\text{act},e}:
N_{\text{act},e}\approx \frac{3n_e}{E_F}\,k_B T = \frac{3\times(1\times10^{28})}{2{,}71\times10^{-19}}\times1{,}381\times10^{-23}.
Numérico:
\frac{3\times10^{28}}{2{,}71\times10^{-19}}\approx 1{,}107\times10^{47}\\ \mathrm{J^{-1}m^{-3}},
N_{\text{act},e}\approx 1{,}107\times10^{47}\times1{,}381\times10^{-23}\approx 1{,}53\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Interpretação: o número de estados eletrônicos termicamente acessíveis por metro cúbico a T=1\\ \mathrm{K} é da ordem de 10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}, assumindo uma densidade eletrônica típica de metal 10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 5

Comparação numérica e interpretação física:
  • Densidade de fótons térmicos a 1\\ \mathrm{K}: n_{\text{ph}}\sim 2\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Número de estados eletrônicos termicamente acessíveis a 1\\ \mathrm{K}: N_{\text{act},e}\sim 1{,}5\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}} (para n_e\sim10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}).
A diferença é enorme: N_{\text{act},e} é cerca de 10^{17} vezes maior que n_{\text{ph}}. Física por trás disso:
  • O gás de elétrons em um metal é fortemente degenerado: a energia de Fermi E_F é muito maior que k_B T mesmo a 1\\ \mathrm{K}. Ainda assim a densidade total de elétrons n_e é extremamente alta ( \sim10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}), de modo que a densidade de estados por energia em torno de E_F é grande. Mesmo multiplicando pela estreita faixa térmica k_B T obtemos um número muito grande de estados termicamente relevantes.
  • O gás de fótons tem densidade de modos que escala como T^3. A 1\\ \mathrm{K} isso gera uma densidade de fótons muito baixa (ordem 10^{7}\\ \mathrm{m^{-3}}). Além disso, fótons não têm conservação de número (a população é determinada pela temperatura), e a escala k_B T para fótons corresponde a comprimentos de onda muito longos a 1 K, novamente reduzindo a densidade de modos ocupados.

Passo 6

Robustez da conclusão e observações:
  • A conclusão (elétrons >> fótons) não depende criticamente do valor exato de n_e usado: densidades eletrônicas em sólidos variam tipicamente 10^{27}\!-\!10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}}, e para esses valores N_{\text{act},e} permanece enorme comparado ao n_{\text{ph}} que escala como T^3. Mesmo variando parâmetros razoavelmente, a diferença de muitos ordens de magnitude permanece.
  • Se o gás de elétrons estivesse extremamente diluído (densidade eletrônica muito baixa), a comparação poderia mudar; mas em contextos físicos usuais (elétrons de condução em sólidos, ou elétrons em um condutor/metal), o resultado que apresentei vale.

Resposta

O gás de elétrons.

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