Questão 4 (0,5 pontos): Considere um gás de elétrons (fèrmions) e um gás de fótons (bósons) Qual dos dois sistemas tem um número maior de estados disponiveis em
? Justifique sua resposta. 33 ,
Passo 1
O enunciado pede que eu compare, a
, qual dos dois sistemas — um gás de elétrons (férmions) ou um gás de fótons (bósons) — tem um número maior de estados disponíveis, e que eu justifique essa resposta. Informação dada explicitamente:
- Temperatura:
.
Vou interpretar “número de estados disponíveis” como o número de estados de uma única partícula que são termicamente acessíveis (ou seja, que podem ser ocupados/variam por efeitos térmicos) por unidade de volume. Essa é uma interpretação usual em física estatística quando se compara quantos modos/estados são relevantes a uma dada temperatura.
Passo 2
Vou estimar, por unidade de volume, a quantidade de estados termicamente acessíveis para cada gás:
- Para fótons: calcular a densidade de modos (estados por unidade volume por frequência) e estimar o número de fótons/modos com energia da ordem de
. - Para elétrons: considerar um gás livre de elétrons com densidade típica de elétrons de condução em um metal
; os elétrons formam um gás degenerado com energia de Fermi grande. Somente os estados num intervalo de energia da ordem de em torno de são termicamente ativos. Vou calcular o número de estados acessíveis como (densidade de estados por unidade volume no nível de Fermi vezes a largura térmica ).
Esses procedimentos serão desenvolvidos e justificados nas próximas etapas. As constantes que usarei (valores numéricos):
Passo 3
Cálculo para o gás de fótons (radiação de corpo negro): densidade de número de fótons por unidade de volume (número total de fótons por volume) é dada por
onde
. Explico a fórmula:
vem das duas polarizações dos fótons;
define a escala de comprimento inverso cúbica associada à energia térmica
; o prefactor
aparece da integração da distribuição de Bose-Einstein para número de fótons.
Agora avalio numericamente em
.
Primeiro calculo a razão
Primeiro calculo a razão
Calculo numérico:
Então
O prefactor numérico é
Logo
Interpretação: a densidade de fótons térmicos (modos ocupados) a
é da ordem de
fótons por metro cúbico.
Passo 4
Cálculo para o gás de elétrons (férmions) — ideia e fórmulas:
- Para um gás livre de elétrons em 3D, a densidade total de elétrons
está relacionada à energia de Fermi . A densidade de estados por unidade de volume e por energia (incluindo fator de spin ) para elétrons livres é
- O número de estados termicamente ativos (por unidade de volume) é aproximadamente a densidade de estados no nível de Fermi multiplicada pela largura térmica
:
Um atalho prático usa a relação entre
e
. Para gás livre
Portanto
Vou tomar como valor típico de densidade eletrônica em um metal
(valor típico e suficiente para comparação qualitativa). Preciso de
consistente com esse
; calcular
pela fórmula do gás livre:
Calculo numérico com
:
Assim
Agora calculo
:
Numérico:
Interpretação: o número de estados eletrônicos termicamente acessíveis por metro cúbico a
é da ordem de
, assumindo uma densidade eletrônica típica de metal
.
Passo 5
Comparação numérica e interpretação física:
- Densidade de fótons térmicos a
: . - Número de estados eletrônicos termicamente acessíveis a
: (para ).
A diferença é enorme:
é cerca de
vezes maior que
. Física por trás disso:
- O gás de elétrons em um metal é fortemente degenerado: a energia de Fermi
é muito maior que mesmo a . Ainda assim a densidade total de elétrons é extremamente alta ( ), de modo que a densidade de estados por energia em torno de é grande. Mesmo multiplicando pela estreita faixa térmica obtemos um número muito grande de estados termicamente relevantes. - O gás de fótons tem densidade de modos que escala como
. A isso gera uma densidade de fótons muito baixa (ordem ). Além disso, fótons não têm conservação de número (a população é determinada pela temperatura), e a escala para fótons corresponde a comprimentos de onda muito longos a 1 K, novamente reduzindo a densidade de modos ocupados.
Passo 6
Robustez da conclusão e observações:
- A conclusão (elétrons >> fótons) não depende criticamente do valor exato de
usado: densidades eletrônicas em sólidos variam tipicamente , e para esses valores permanece enorme comparado ao que escala como . Mesmo variando parâmetros razoavelmente, a diferença de muitos ordens de magnitude permanece. - Se o gás de elétrons estivesse extremamente diluído (densidade eletrônica muito baixa), a comparação poderia mudar; mas em contextos físicos usuais (elétrons de condução em sólidos, ou elétrons em um condutor/metal), o resultado que apresentei vale.
Resposta
O gás de elétrons.