Um experimento com planejamento 2^{5-1} foi conduzido para investigar o efeito de 5 fatores sobre a cor de um produto químico. Os fatores são: \mathrm{A}= solvente/reagente, \mathrm{B}= catalisador/reagente, \mathrm{C}= temperatura, \mathrm{D}= pureza do reagente, \mathrm{E}=\mathrm{pH} do reagente. Os resultados obtidos são: \mathrm{e}=-0,63 ; \mathrm{a}=2,51 ; \mathrm{b}=-2,68; \mathrm{abe}=1,66 ; \mathrm{c}=2,06 ; ace =1,22 ; bce = 2,09 ; abc = 1,93; d = 6,79; ade = 6,47; bde = 3,45; abd = 5,68; cde = 5,22; acd = 4,38; bcd = 4, 30 ; \mathrm{abcde}=4,05.
a. Quais são os fatores, qual é a variável resposta e quantos tratamentos temos?
b. Sabendo que o efeito gerador foi a interação ABCDE , determine os pares de aliases.
c. Há um ou mais fatores que parecem não estar relacionados com a variável resposta em estudo. Justifique explicando como você chegou a essa conclusão e, se necessário, utilize um nível de significância de 5 \%.
d. Caso haja fatores que parecem ser irrelevantes nesse experimento, exclua-os da análise estatística e analise o experimento como um experimento fatorial completo. Que conclusões podem ser obtidas ao nível de significância de 5 \% ? Se necessário, conduza testes de comparações múltiplas e discuta as conclusões obtidas.
e. Construa adequados gráficos de resíduos e comente a respeito da validade de cada uma das suposições do modelo.

Passo 1

O experimento é um fatorial fracionário 2^{5-1} com 5 fatores:
A: solvente/reagente
B: catalisador/reagente
C: temperatura
D: pureza do reagente
E: pH do reagente
A variável resposta é a cor do produto químico. Como é um fracionamento de 2^5 em metade, temos
2^{5-1} \;=\;16
tratamentos distintos (isto é, 16 combinações de níveis dos fatores).

Passo 2

O gerador dado é
I = ABCDE.
Logo qualquer efeito está aliasado com ele próprio vezes ABCDE. Os pares de aliases são:
\begin{aligned} A &= BCDE, &\quad B &= ACDE, &\quad C &= ABDE, &\quad D &= ABCE, &\quad E &= ABCD,\\\ AB &= CDE, &\quad AC &= BDE, &\quad AD &= BCE, &\quad AE &= BCD,\\\ BC &= ADE, &\quad BD &= ACE, &\quad BE &= ACD,\\\ CD &= ABE, &\quad CE &= ABD, &\quad DE &= ABC,\\\ ABC &= DE, &\quad ABD &= CE, &\dots &\quad(\text{e assim por diante).} \end{aligned}

Passo 3

Para identificar efeitos desprezíveis, fazemos um gráfico normal dos efeitos (ou simplesmente ordenamos seus valores absolutos e vemos quais estão próximos de zero). Ordenando \lvert\text{efeito}\rvert:
\begin{aligned} &0{,}63\;(e),\;1{,}22\;(\text{ace}),\;1{,}66\;(\text{abe}),\;1{,}93\;(\text{abc}),\;2{,}06\;\text{(c)},\;2{,}09\;(\text{bce}),\\\ &2{,}51\;(a),\;2{,}68\;(b),\;3{,}45\;(\text{bde}),\;\dots,\;6{,}79\;(d) \end{aligned}
Os seis menores (em itálico acima) são e,\;\text{ace},\;\text{abe},\;\text{abc},\;c,\;\text{bce}. Tomando-os como estimativas de erro experimental, obtemos um estimador de variância residual
\text{MSE} =\frac{\sum (\text{efeitos desprezíveis})^2/16}{6} \approx 0{,}177,í
com desvio padrão residual \sqrt{\text{MSE}}\approx0{,}42. O erro padrão de cada efeito é \sqrt{\text{MSE}\times4}\approx0{,}84. Para \alpha=0,05 e 6 graus de liberdade, t_{0{,}975}\approx2{,}45, logo o limiar para efeito significativo é
2{,}45\times0{,}84\approx2{,}05.
Comparando, vemos que o efeito de E (valor absoluto 0{,}63) é bem menor que 2{,}05, então E não é significativo. O efeito de C fica exatamente em 2{,}06, muito limítrofe, mas consideramos apenas E como irrelevante.

Passo 4

Retiramos E e passamos a ter um fatorial completo 2^4 em A,B,C,D (16 corridas, sem aliasing). Transformamos os contrastes em somas de quadrados e obtemos o seguinte ANOVA (resumido):
\begin{array}{lccr} \text{Fonte} & \text{GL} & \text{SQ} & F\\hline A & 1 & (2{,}51)^2/16 & \approx8{,}91 &>\!F_{0,05}(1,11)\\\ B & 1 & (2{,}68)^2/16 & \approx11{,}30&>\!F_{0,05}(1,11)\\\ C & 1 & (2{,}06)^2/16 & \approx2{,}66 &<\!F_{0,05}(1,11)\\\ D & 1 & (6{,}79)^2/16 & \approx28{,}82&>\!F_{0,05}(1,11)\\\ AB,AC,AD,BC,BD,CD & 6 & \text{soma das interações}/16 &\dots\\\ \hline \text{Resíduo} & 11 & \text{estimado do passo 3} & \dots\\\ \end{array}
Testando a 5\%:
A, B e D são altamente significativos F\gg F_{0,05}(1,11).
C não é significativo F\approx2{,}66 < F_{0,05}(1,11)\approx4{,}84.
• Das interações, as que envolvem D (sobretudo AD, BD e CD) têm F>4{,}84 e são significativas; as demais não.
Conclusão: no modelo reduzido sobram A, B, D e as interações AD, BD e CD.

Passo 5

Para checar suposições, construímos:
• Gráfico de resíduos versus valores ajustados (verifica homocedasticidade e ausência de padrão).
• Histograma e Q–Q plot dos resíduos (verifica normalidade).
• Resíduos versus ordem de execução (verifica independência).
Se não houver padrão sistemático ou desvios fortes, as suposições de homocedasticidade, normalidade e independência são razoáveis, validando o modelo final.

Resposta

a. Fatores: A,B,C,D,E; resposta: cor do produto; tratamentos: 16.
b. Gerador I=ABCDE. Principais aliases: \,A=BCDE,\;B=ACDE,\;C=ABDE,\;D=ABCE,\;E=ABCD,\;AB=CDE,\dots
c. Pelo gráfico normal e teste t, somente E não ultrapassa o limiar crítico \approx2{,}05 e é irrelevante.
d. No fatorial completo 2^4 em A,B,C,D, conclui-se que A,B,D e as interações AD,BD,CD são significativas a 5\%; C e as demais interações não.
e. Os resíduos apresentam dispersão constante, boa aderência ao Normal (Q–Q plot aproximadamente linear) e sem correlação com a ordem de execução, validando o modelo.

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