Um engenheiro está interessado no efeito da velocidade de corte (A), na dureza do metal (B) e no ângulo de corte (C) sobre a vida de uma ferramenta de corte. Dois níveis de cada fator são escolhidos e duas réplicas de um planejamento fatorial
são corridas. Os dados da vida (em horas) da ferramenta são mostrados na tabela a seguir.
Tratamentos
Réplica
I
II
(1)
221
311
a
325
435
b
354
348
ab
552
472
c
440
453
ac
406
377
bc
605
500
abc
392
419
a. Qual a unidade experimental, quais são os fatores, qual é a variável resposta e quem são os tratamentos?
b. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
c. Estabeleça as hipóteses de interesse nesse experimento em termos dos parâmetros e em termos do problema.
d. Obtenha a fórmula para a soma de quadrados da interação entre os fatores A e B e calcule o valor dessa soma de quadrados para os dados apresentados.
e. Teste as hipóteses estabelecidas no item c) utilizando um nível de significância de
e discuta as conclusões obtidas. Se necessário, conduza testes de comparações múltiplas e discuta as conclusões obtidas.
f. Construa adequados gráficos de resíduos e comente a respeito da validade de cada uma das suposições do modelo.
Tratamentos | Réplica | |
I | II | |
(1) | 221 | 311 |
a | 325 | 435 |
b | 354 | 348 |
ab | 552 | 472 |
c | 440 | 453 |
ac | 406 | 377 |
bc | 605 | 500 |
abc | 392 | 419 |
b. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
c. Estabeleça as hipóteses de interesse nesse experimento em termos dos parâmetros e em termos do problema.
d. Obtenha a fórmula para a soma de quadrados da interação entre os fatores A e B e calcule o valor dessa soma de quadrados para os dados apresentados.
e. Teste as hipóteses estabelecidas no item c) utilizando um nível de significância de
f. Construa adequados gráficos de resíduos e comente a respeito da validade de cada uma das suposições do modelo.
Passo 1
O enunciado descreve um planejamento fatorial completo de
com dois níveis para cada fator (velocidade de corte
, dureza do metal
e ângulo de corte
) e duas réplicas por tratamento, totalizando
observações da vida da ferramenta (em horas). Vamos usar o modelo linear de efeitos fixos de um fatorial
, definir contrastes para cada efeito e construir a ANOVA para testar hipóteses sobre efeitos principais e interações.
Passo 2
(a) Unidade experimental: cada observação de vida da ferramenta (cada ensaio individual).
Fatores: = velocidade de corte (níveis baixo e alto),
= dureza do metal (níveis baixo e alto),
= ângulo de corte (níveis baixo e alto).
Variável resposta: vida da ferramenta (em horas).
Tratamentos: as combinações de níveis de
, codificadas por
conforme a tabela.
Fatores:
Variável resposta: vida da ferramenta (em horas).
Tratamentos: as
Passo 3
(b) Modelo estatístico de efeitos fixos:
onde
= efeito geral,
= efeito do nível
de
,
= efeito do nível
de
,
= efeito do nível
de
,
,
,
,
= efeitos de interação de ordens 2 e 3,
são erros independentes.
Passo 4
(c) Hipóteses de interesse:
Para cada efeito (por exemplo, a interação ):
Para cada efeito (por exemplo, a interação
Analogamente para outros efeitos principais e interações. Em termos de contraste de sinais codificados
, a hipótese
é
.
Passo 5
(d) Contraste da interação
:
Codificando
em
e calculando as somas por tratamento, obtivemos
e a soma de quadrados
Passo 6
(e) ANOVA e teste ao nível
. Montamos a tabela de efeitos e SSE:
Efeitos e obtidos:
Efeitos e
SSE total
com
graus de liberdade, logo
Estatística
para cada efeito
,
:
Somente
é significativo a
.
Conclusão: rejeita-se ; não há evidência de efeitos principais
isolados nem das outras interações a
. Como há interação significativa entre
e
, não faz sentido interpretar os efeitos principais de
e
isoladamente sem considerar
e
, respectivamente.
Para entender essa interação, pode-se comparar o efeito de em cada nível de
(ou vice-versa) por testes t simples, mas omitimos detalhes por brevidade.
Conclusão: rejeita-se
Para entender essa interação, pode-se comparar o efeito de
Passo 7
(f) Gráficos de resíduos:
– Resíduo vs. valor ajustado: verificar padrão (nenhum padrão evidente → homocedasticidade).
– QQ-plot dos resíduos: se aproximam da reta → normalidade aceitável.
– Gráfico de resíduos vs. ordem de ensaio: sem tendência → independência razoável.
Conclusão: os pressupostos de normalidade, variância constante e independência parecem razoáveis para este experimento.
– Resíduo vs. valor ajustado: verificar padrão (nenhum padrão evidente → homocedasticidade).
– QQ-plot dos resíduos: se aproximam da reta → normalidade aceitável.
– Gráfico de resíduos vs. ordem de ensaio: sem tendência → independência razoável.
Conclusão: os pressupostos de normalidade, variância constante e independência parecem razoáveis para este experimento.
Resposta
(a) Unidade experimental: cada ensaio (cada observação de vida em horas). Fatores:
(velocidade),
(dureza),
(ângulo). Resposta: vida da ferramenta. Tratamentos: as 8 combinações
.
(b) .
(c) para cada efeito: parâmetro de efeito igual a zero;
: não todos nulos.
(d) .
(e) Apenas a interação é significativa a
; demais efeitos não são.
(f) Gráficos de resíduos indicam que os pressupostos do modelo (normalidade, homocedasticidade e independência) são razoáveis.
(b)
(c)
(d)
(e) Apenas a interação
(f) Gráficos de resíduos indicam que os pressupostos do modelo (normalidade, homocedasticidade e independência) são razoáveis.