Deseja-se estudar o efeito da variedade de batata (nos níveis \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ) e do tipo de adubo (nos níveis 1 e 2 ) no rendimento médio da batata. O experimento é conduzido ao atribuir a cada tratamento 2 lotes e observar o rendimento. A seguir temos parte da tabela Anova construída para analisar o experimento e as médias amostrais observadas para cada tratamento.
Fonte de variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrados médios F
Variedade
Adubo 0,030
Variedade*Adubo
Erro
Total 48,137
Variedade Adubo
1
2
A 19,30 19,80
B 15,55 15,60
C 15,65 15,40
a. Quem é a variável resposta, quais são os fatores e quantos tratamentos temos?
b. Para realizar a análise estatística deste experimento utilizamos um modelo. Apresente um modelo adequado nesse caso e diga o significado de cada termo deste modelo em termos do experimento descrito.
c. Complete a tabela Anova para exte experimento.
d. Estabeleça as hipóteses de interesse no experimento que podem ser testadas utilizando a tabela Anova e teste essas hipóteses considerando um nível de significância de 2,5 \%. Que conclusões são obtidas? Assuma que as suposições do modelo estão atendidas.
e. Para este experimento, seria necessária a realização de comparações múltiplas? Justifique sua resposta. Caso seja necessário, conduza testes de comparações múltiplas pelo teste de Tukey.

Passo 1

Neste experimento a variável resposta é o rendimento médio de batata observado em cada lote. Temos dois fatores: variedade de batata, com três níveis \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}, e tipo de adubo, com dois níveis 1,2. Como cada combinação variedade × adubo (tratamento) foi aplicada em 2 lotes, o número total de tratamentos é
3\times2=6.

Passo 2

Um modelo linear de efeitos fixos adequado é
Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk},
onde \mu = média geral do rendimento, \alpha_i = efeito da i-ésima variedade i=1,2,3, \beta_j = efeito do j-ésimo adubo j=1,2, (\alpha\beta)_{ij} = efeito de interação variedade × adubo, \varepsilon_{ijk} = erro experimental assumido iid com \varepsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2), e k=1,2 indexa os lotes.

Passo 3

Calculamos as somas de quadrados (SS) e graus de liberdade (gl) a partir das médias de cada combinação e da soma total \mathrm{SS}_T=48,137, obtendo:
\begin{array}{lcccccc} \hline \text{Fonte} & \text{gl} & \text{SS} & \text{MS} & F \\\ \hline \text{Variedade} & 3-1=2 & 42{,}675 & 42{,}675/2=21{,}3375 & 21{,}3375/0{,}8581\approx24{,}87\\\ \text{Adubo} & 2-1=1 & 0{,}030 & 0{,}030/1=0{,}030 & 0{,}030/0{,}8581\approx0{,}035\\\ \text{Interação} & (3-1)(2-1)=2 & 0{,}284 & 0{,}284/2=0{,}142 & 0{,}142/0{,}8581\approx0{,}17\\\ \text{Erro} & 3\cdot2\,(2-1)=6 & 5{,}149 & 5{,}149/6=0{,}8581 & \\\ \hline \text{Total} & 12-1=11 & 48{,}137 & & \\\ \hline \end{array}

Passo 4

As hipóteses para cada fonte são:
H_{0\alpha}:\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3\quad\text{vs.}\quad H_{1\alpha}:\text{nem todos iguais},
H_{0\beta}:\beta_1=\beta_2\quad\text{vs.}\quad H_{1\beta}:\beta_1\neq\beta_2,
H_{0\alpha\beta}:(\alpha\beta)_{ij}=0\\ \forall i,j\quad\text{vs.}\quad H_{1\alpha\beta}:\text{há interação}\!.áçã
Com nível \alpha=2{,}5\%, os valores críticos aproximados são F_{0{,}975}(2,6)\approx8{,}9 e F_{0{,}975}(1,6)\approx8{,}0.
Comparemos: \,F_{\text{var}}=24{,}87>8{,}9 \Rightarrow rejeita H_{0\alpha}. \,F_{\text{adubo}}=0{,}035<8{,}0 \Rightarrow não rejeita H_{0\beta}. \,F_{\text{inter}}=0{,}17<8{,}9 \Rightarrow não rejeita H_{0\alpha\beta}.
Conclusão: há efeito significativo de variedade, mas não de adubo nem de interação.

Passo 5

Como apenas o fator variedade é significativo e tem 3 níveis, devemos comparar pares de médias de variedade. Pelo teste de Tukey com \alpha=2{,}5\%, graus de liberdade de erro 6 e a=3, o valor crítico da diferença mínima significativa é
\text{HSD}=q_{0{,}975;3,6}\,\sqrt{\frac{\mathrm{MSE}}{n}} \approx4{,}34\,\sqrt{\frac{0{,}8581}{4}}\approx2{,}01.
As médias marginais de variedade são \bar Y_{A\cdot}=19{,}55, \bar Y_{B\cdot}=15{,}575, \bar Y_{C\cdot}=15{,}525.
Diferenças: \bar Y_{A\cdot}-\bar Y_{B\cdot}=3{,}975>2{,}01 sig.; \bar Y_{A\cdot}-\bar Y_{C\cdot}=4{,}025>2{,}01 sig.; \bar Y_{B\cdot}-\bar Y_{C\cdot}=0{,}05<2{,}01 não sig.
Portanto, a variedade A difere de B e de C, que entre si são iguais.

Resposta

a. Resposta no Passo 1
b. Modelo no Passo 2
c. Tabela ANOVA no Passo 3
d. Hipóteses e testes no Passo 4
e. Comparações múltiplas e Tukey no Passo 5

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