Um experimento é realizado para avaliar a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção de gripe em habitantes de uma comunidade. Antes do início do inverno, as drogas são atribuídas às pessoas sendo que
recebem a droga
e o restante recebe a droga B. Acredita-se que, para aqueles que tomam a droga
, a probabilidade de que uma gripe não se instale seja 0,8 , enquanto que para os que tomam a droga B, essa probabilidade é 0,6 . Com base nessas informações, calcule:
(b) Se 10 pessoas forem escolhidas ao acaso, calcule a probabilidade de no máximo 7 terem gripe naquele inverno.
(b) Se 10 pessoas forem escolhidas ao acaso, calcule a probabilidade de no máximo 7 terem gripe naquele inverno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe fala sobre a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção da gripe. A gente precisa descobrir a probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas escolhidas aleatoriamente, no máximo 7 delas pegarem gripe durante o inverno. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial. Vamos seguir os passos juntos!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a probabilidade de uma pessoa qualquer pegar gripe, considerando que 60% estão tomando a droga A e 40% estão tomando a droga B.
-
Droga A: 60% das pessoas tomam a A. A probabilidade de quem toma a A não pegar gripe é 0,8. Então, a probabilidade de pegar gripe é
. -
Droga B: 40% das pessoas tomam a B. A probabilidade de quem toma a B não pegar gripe é 0,6. Então, a probabilidade de pegar gripe é
.
Vamos calcular a probabilidade total de uma pessoa pegar gripe.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade total de uma pessoa pegar gripe (
), consideramos as duas situações (tomar A ou B):
Substituindo os valores:
Então, a probabilidade de uma pessoa qualquer pegar gripe é 0,28 ou 28%.
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de no máximo 7 pessoas pegarem gripe em um grupo de 10. Isso significa que queremos calcular a soma das probabilidades de 0, 1, 2, …, até 7 pessoas pegarem gripe.
Para isso, usamos a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos:
- Um número fixo de tentativas (neste caso, 10 pessoas).
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis (pegar gripe ou não).
- As tentativas são independentes.
- A probabilidade de sucesso (pegar gripe) é a mesma para cada tentativa.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
é o número de combinações de n elementos tomados k a k. -
é a probabilidade de sucesso (0,28). -
é o número total de tentativas (10). -
é o número de sucessos desejados.
Vamos calcular para
de 0 a 7 e somar os resultados.
Passo 5
Vamos calcular cada termo da soma:
Vamos calcular cada parte:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora, somando todas essas probabilidades:
Mas espera aí! Já que probabilidades não podem ultrapassar 1, isso indica que fizemos um arredondamento nos cálculos intermediários. Na prática, a soma das probabilidades até
é praticamente 1.
Resposta
A probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas, no máximo 7 delas pegarem gripe é aproximadamente 1,00 ou 100%.