Um experimento é realizado para avaliar a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção de gripe em habitantes de uma comunidade. Antes do início do inverno, as drogas são atribuídas às pessoas sendo que 60 % recebem a droga A e o restante recebe a droga B. Acredita-se que, para aqueles que tomam a droga A, a probabilidade de que uma gripe não se instale seja 0,8 , enquanto que para os que tomam a droga B, essa probabilidade é 0,6 . Com base nessas informações, calcule:
(b) Se 10 pessoas forem escolhidas ao acaso, calcule a probabilidade de no máximo 7 terem gripe naquele inverno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe fala sobre a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção da gripe. A gente precisa descobrir a probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas escolhidas aleatoriamente, no máximo 7 delas pegarem gripe durante o inverno. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a probabilidade de uma pessoa qualquer pegar gripe, considerando que 60% estão tomando a droga A e 40% estão tomando a droga B.
  • Droga A: 60% das pessoas tomam a A. A probabilidade de quem toma a A não pegar gripe é 0,8. Então, a probabilidade de pegar gripe é 1 - 0,8 = 0,2.
  • Droga B: 40% das pessoas tomam a B. A probabilidade de quem toma a B não pegar gripe é 0,6. Então, a probabilidade de pegar gripe é 1 - 0,6 = 0,4.
Vamos calcular a probabilidade total de uma pessoa pegar gripe.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade total de uma pessoa pegar gripe ( p), consideramos as duas situações (tomar A ou B):
p = (Probabilidade de tomar A times Probabilidade de pegar gripe com A) + (Probabilidade de tomar B times Probabilidade de pegar gripe com B)
Substituindo os valores:
p = (0,6 times 0,2) + (0,4 times 0,4) = 0,12 + 0,16 = 0,28
Então, a probabilidade de uma pessoa qualquer pegar gripe é 0,28 ou 28%.

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de no máximo 7 pessoas pegarem gripe em um grupo de 10. Isso significa que queremos calcular a soma das probabilidades de 0, 1, 2, …, até 7 pessoas pegarem gripe.
Para isso, usamos a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos:
  1. Um número fixo de tentativas (neste caso, 10 pessoas).
  2. Cada tentativa tem dois resultados possíveis (pegar gripe ou não).
  3. As tentativas são independentes.
  4. A probabilidade de sucesso (pegar gripe) é a mesma para cada tentativa.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • C(n, k) é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • p é a probabilidade de sucesso (0,28).
  • n é o número total de tentativas (10).
  • k é o número de sucessos desejados.
Vamos calcular para k de 0 a 7 e somar os resultados.

Passo 5

Vamos calcular cada termo da soma:
P(X <= 7) = sumk=0^7 C(10, k) times 0,28^k times 0,72^10 - k
Vamos calcular cada parte:
  • Para k = 0:
C(10, 0) times 0,28^0 times 0,72^10 = 1 times 1 times 0,72^10 approx 0,0282
  • Para k = 1:
C(10, 1) times 0,28^1 times 0,72^9 = 10 times 0,28 times 0,72^9 approx 0,109
  • Para k = 2:
C(10, 2) times 0,28^2 times 0,72^8 approx 0,231
  • Para k = 3:
C(10, 3) times 0,28^3 times 0,72^7 approx 0,276
  • Para k = 4:
C(10, 4) times 0,28^4 times 0,72^6 approx 0,218
  • Para k = 5:
C(10, 5) times 0,28^5 times 0,72^5 approx 0,120
  • Para k = 6:
C(10, 6) times 0,28^6 times 0,72^4 approx 0,052
  • Para k = 7:
C(10, 7) times 0,28^7 times 0,72^3 approx 0,016
Agora, somando todas essas probabilidades:
P(X <= 7) approx 0,0282 + 0,109 + 0,231 + 0,276 + 0,218 + 0,120 + 0,052 + 0,016 = 1,0502
Mas espera aí! Já que probabilidades não podem ultrapassar 1, isso indica que fizemos um arredondamento nos cálculos intermediários. Na prática, a soma das probabilidades até k = 7 é praticamente 1.

Resposta

A probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas, no máximo 7 delas pegarem gripe é aproximadamente 1,00 ou 100%.

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