Um experimento é realizado para avaliar a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção de gripe em habitantes de uma comunidade. Antes do início do inverno, as drogas são atribuídas às pessoas sendo que 60 % recebem a droga A e o restante recebe a droga B. Acredita-se que, para aqueles que tomam a droga A, a probabilidade de que uma gripe não se instale seja 0,8 , enquanto que para os que tomam a droga B, essa probabilidade é 0,6 . Com base nessas informações, calcule:
© Se o tratamento B é dado a 10 pessoas, encontre a probabilidade de ao menos 3 terem gripe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve probabilidade, especificamente sobre a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção da gripe. No caso, vamos focar na droga B. Precisamos calcular a probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas que tomaram a droga B, pelo menos 3 delas contrairem gripe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (como “gripe” ou “não gripe”) e um número fixo de tentativas (neste caso, 10 pessoas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os dados que temos:
  • Número de pessoas que tomaram a droga B: $ n = 10 $
  • Probabilidade de uma pessoa que tomou a droga B não pegar gripe: $ p = 0,6 $
  • Portanto, a probabilidade de uma pessoa pegar gripe: $ q = 1 - p = 0,4 $

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de, entre essas 10 pessoas, pelo menos 3 pegarem gripe. Isso significa que queremos calcular $ P(X \geq 3) $, onde $ X $ é o número de pessoas que pegam gripe.

Passo 4

Como $ X $ segue uma distribuição binomial, podemos calcular essa probabilidade usando a fórmula da distribuição binomial:
X
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso (neste caso, pegar gripe).
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de falha (não pegar gripe).

Passo 5

Para encontrar $ P(X \geq 3) $, podemos calcular o complemento, ou seja:
P(X >= 3)
Isso facilita os cálculos, pois só precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $.

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para $ X = 0 $:
X = 0
  1. Para $ X = 1 $:
P(X = 0) = binom100 cdot (0,4)^0 cdot (0,6)^10 = 1 cdot 1 cdot 0,6^10 approx 0,0060
  1. Para $ X = 2 $:
X = 1

Passo 7

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0060 + 0,0403 + 0,1209 = 0,1672

Passo 8

Finalmente, calculamos a probabilidade desejada:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,1672 = 0,8328

Resposta

A probabilidade de, dentre 10 pessoas que tomaram a droga B, pelo menos 3 contrairem gripe é de aproximadamente 83,28%.

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