Um experimento é realizado para avaliar a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção de gripe em habitantes de uma comunidade. Antes do início do inverno, as drogas são atribuídas às pessoas sendo que
recebem a droga
e o restante recebe a droga B. Acredita-se que, para aqueles que tomam a droga
, a probabilidade de que uma gripe não se instale seja 0,8 , enquanto que para os que tomam a droga B, essa probabilidade é 0,6 . Com base nessas informações, calcule:
© Se o tratamento B é dado a 10 pessoas, encontre a probabilidade de ao menos 3 terem gripe.
© Se o tratamento B é dado a 10 pessoas, encontre a probabilidade de ao menos 3 terem gripe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve probabilidade, especificamente sobre a eficácia de duas drogas, A e B, na prevenção da gripe. No caso, vamos focar na droga B. Precisamos calcular a probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas que tomaram a droga B, pelo menos 3 delas contrairem gripe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (como “gripe” ou “não gripe”) e um número fixo de tentativas (neste caso, 10 pessoas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os dados que temos:
- Número de pessoas que tomaram a droga B: $ n = 10 $
- Probabilidade de uma pessoa que tomou a droga B não pegar gripe: $ p = 0,6 $
- Portanto, a probabilidade de uma pessoa pegar gripe: $ q = 1 - p = 0,4 $
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de, entre essas 10 pessoas, pelo menos 3 pegarem gripe. Isso significa que queremos calcular $ P(X \geq 3) $, onde $ X $ é o número de pessoas que pegam gripe.
Passo 4
Como $ X $ segue uma distribuição binomial, podemos calcular essa probabilidade usando a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (neste caso, pegar gripe).
- $ (1 - p) $ é a probabilidade de falha (não pegar gripe).
Passo 5
Para encontrar $ P(X \geq 3) $, podemos calcular o complemento, ou seja:
Isso facilita os cálculos, pois só precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $.
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- Para $ X = 0 $:
- Para $ X = 1 $:
- Para $ X = 2 $:
Passo 7
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 8
Finalmente, calculamos a probabilidade desejada:
Resposta
A probabilidade de, dentre 10 pessoas que tomaram a droga B, pelo menos 3 contrairem gripe é de aproximadamente 83,28%.