Um experimento no D B C com 4 repetiçōes forneceu os dados abaixo referente aos totais de 5 tratamentos: T 1=571,21 \quad T 2=552,10 \quad T 3=554,97 \quad T 4=560,04 \quad T5 = x. Aplique o teste Schefté a 5 \% para o contraste entre as médias dos dois primeiros tratamentos e a média dos dois ultimos tratamentos e tire as conclusöes. Dados: Fcalculado = 3,26 e QMe =33,85.

Passo 1

O enunciado dá os totais por tratamento em um DBC com r=4 repetições:
\;T_1=571,21,\; T_2=552,10,\; T_3=554,97,\; T_4=560,04,\; T_5=x.
Também são fornecidos \text{QMe}=33,85 (ou seja, MSE=33,85) e \text{F}_{\text{calculado}}=3,26.
O que pedem: aplicar o teste de Scheffé a 5\% para o contraste entre a média dos dois primeiros tratamentos e a média dos dois últimos tratamentos e tirar conclusões.
Ou seja, testar o contraste
L=\frac{\bar{y}_1+\bar{y}_2}{2}-\frac{\bar{y}_4+\bar{y}_5}{2}
com intervalo de confiança/critério de Scheffé a \alpha=0,05.
Dados do desenho: número de tratamentos a=5, número total de observações N=ar=20, graus de liberdade do erro N-a=15.

Passo 2

Calcular as médias amostrais dos tratamentos a partir dos totais (cada média é total dividido por r=4). Vou mostrar cada conta:
\bar{y}_1=\frac{T_1}{4}=\frac{571,21}{4}=142,8025,
\bar{y}_2=\frac{T_2}{4}=\frac{552,10}{4}=138,025,
\bar{y}_3=\frac{T_3}{4}=\frac{554,97}{4}=138,7425,
\bar{y}_4=\frac{T_4}{4}=\frac{560,04}{4}=140,01,
\bar{y}_5=\frac{T_5}{4}=\frac{x}{4}.
Estou mantendo os valores com várias casas para não perder precisão nas contas.

Passo 3

Expressar o contraste L em termos dos totais/médias já calculados. Pelo enunciado:
L=\frac{\bar{y}_1+\bar{y}_2}{2}-\frac{\bar{y}_4+\bar{y}_5}{2}.
Substituindo as médias:
L=\frac{142,8025+138,025}{2}-\frac{140,01+\frac{x}{4}}{2}.
Calculo passo a passo:
\frac{142,8025+138,025}{2}=\frac{280,8275}{2}=140,41375,
logo
L=140,41375-\frac{140,01+\frac{x}{4}}{2}.
Distribuindo o 1/2:
L=140,41375-70,005-\frac{x}{8}=70,40875-\frac{x}{8}.
Portanto o contraste observado em função de x é
L_{\text{obs}}=70,40875-\frac{x}{8}.

Passo 4

Apresentar a regra do teste de Scheffé (explicação didática):
Scheffé controla o erro do tipo I para qualquer contraste. Para um contraste linear L=\sum c_i\bar{y}_i com coeficientes c_i, a regra de rejeição a nível \alpha é rejeitar H_0\colon L=0 se
|L_{\text{obs}}|>\sqrt{(a-1)\,F_{a-1,N-a;\,\alpha}\;MSE\;\sum_{i=1}^{a}\frac{c_i^2}{n_i}}.
Explicando cada termo:
  • a é o número de tratamentos ( 5 aqui).
  • F_{a-1,N-a;\,\alpha} é o quantil superior da distribuição F com a-1 e N-a gl ao nível \alpha.
  • MSE é a média dos quadrados do erro (aqui 33,85).
  • c_i são os coeficientes do contraste (devem somar zero) e n_i é número de repetições por tratamento (aqui n_i=r=4 para todos).
    A raiz dá a margem crítica para |L|.

Passo 5

Determinar os coeficientes c_i e calcular \sum c_i^2/n_i. Para o contraste escolhido:
c_1=\tfrac{1}{2},\; c_2=\tfrac{1}{2},\; c_3=0,\; c_4=-\tfrac{1}{2},\; c_5=-\tfrac{1}{2}.
Verificamos que \sum c_i=0 (propriedade de contraste). Agora:
\sum_{i=1}^{5}\frac{c_i^2}{n_i}=\frac{1}{4}\Big(c_1^2+c_2^2+c_3^2+c_4^2+c_5^2\Big)
porque n_i=4. Calculando os quadrados:
c_1^2+c_2^2+c_3^2+c_4^2+c_5^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1.
Portanto
\sum_{i=1}^{5}\frac{c_i^2}{n_i}=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 6

Obter o valor crítico de F para Scheffé: precisamos de F_{a-1,N-a;\,0,05}=F_{4,15;\,0,05}. Consultando tabela de F (ou memória de tabela), temos aproximadamente
F_{4,15;\,0,05}\approx 3,06.
(Observação: o \text{F}_{\text{calculado}}=3,26 dado no enunciado refere-se provavelmente ao teste global de tratamentos; para o procedimento de Scheffé usamos o quantil F_{4,15;0,05} da tabela.)

Passo 7

Calcular a margem crítica numérica usando a fórmula de Scheffé:
\text{Crítico}=\sqrt{(a-1)\,F_{a-1,N-a;\,\alpha}\;MSE\;\sum\frac{c_i^2}{n_i}}.í
Substituindo números:
(a-1)=4,\quad F_{4,15;0,05}\approx 3,06,\quad MSE=33,85,\quad \sum\frac{c_i^2}{n_i}=0,25.
Primeiro calcular o produto interno:
4\cdot 3,06=12,24,
MSE\cdot 0,25=33,85\cdot 0,25=8,4625.
Produto total:
12,24\cdot 8,4625 \approx 103,581.
Agora a raiz:
\text{Crítico}\approx\sqrt{103,581}\approx 10,177.í
Portanto rejeitamos H_0 se |L_{\text{obs}}|>10,177.

Passo 8

Aplicar a condição ao L_{\text{obs}} que expressamos em função de x: L_{\text{obs}}=70,40875-\dfrac{x}{8}.
A condição de rejeição é
\left|70,40875-\frac{x}{8}\right|>10,177.
Resolver as duas desigualdades:
  1. 70,40875-\dfrac{x}{8}>10,177 implica
-\frac{x}{8}>10,177-70,40875=-60,23175
\Rightarrow \frac{x}{8}<60,23175\quad(\text{multiplicando por }-1\text{ troca sinal})
\Rightarrow x<481,854.
  1. 70,40875-\dfrac{x}{8}<-10,177 implica
-\frac{x}{8}<-80,58575
\Rightarrow \frac{x}{8}>80,58575
\Rightarrow x>644,686.
Arredondando para duas casas decimais (usando vírgula conforme pedido):
x<481,85\quad\text{ou}\quad x>644,69
são as condições para rejeitar H_0. Portanto, se 481,85\le x\le 644,69 não rejeitamos H_0 pelo teste de Scheffé a 5\%.

Passo 9

Interpretação prática e exemplo: os totais dos outros tratamentos estão perto de 560, então um total x na faixa típica (por exemplo x=560,04) cai dentro do intervalo [481,85,\;644,69] e, portanto, o contraste não seria significativo a 5\%. Somente se o total do tratamento 5 fosse muito pequeno (menor que 481,85) ou muito grande (maior que 644,69) é que a diferença entre a média dos dois primeiros tratamentos e a média dos dois últimos seria estatisticamente significativa pelo critério de Scheffé.

Resposta

Rejeita-se H_0 se x<481,85 ou x>644,69.\nNão se rejeita H_0 se 481,85\le x\le 644,69.

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