QUESTÃO 2 (3 pontos)

Um experimento instalado em DBC para verificar se existe diferença entre 5 tipos de Levedura na produção de cerveja, é fornecido a seguir.Ao nivel de 5 \% de probabilidade, pede-se
FV GL OM F Fecs (\mathrm{s})
Blocos 3 \overline{37}, 53 \overline{7,67} 3,26
Tratamentos
Residuo
4 42 4,895
Iotal 19
Totais de Tratamentos:
T_{1}=12,0 \quad T_{2}=25,2 \quad T_{3}=22,0 \quad T_{3}=24,0 \quad T_{5}=45,6
a) Existe diferença entre os 5 tipos de Levedura, na produçāo de cerveja?
b) Pelo teste Tukey, qual(is) o(s) tipo(s) de Levedura que apresentou(aram) maior produçlo?
c) Pelo teste Duncan, qual(is) o(s) tipo(s) de Levedura que apresentou(aram) menor produçāo?

Passo 1

O enunciado dá um experimento em DBC com 5 tratamentos (tipos de levedura) e 4 blocos (pois o GL total é 19, logo N=20 observações e b=N/t=20/5=4). Foram fornecidos os totais por tratamento:
T_{1}=12{,}0,\; T_{2}=25{,}2,\; T_{3}=22{,}0,\; T_{4}=24{,}0,\; T_{5}=45{,}6.
Da tabela ANOVA (do enunciado) temos o quadrado médio do resíduo
\text{QM}_{\text{res}} = 4{,}895
e o valor crítico F_{4,12,0{,}05}=3{,}26 (fornecido). As perguntas são:
a) Existe diferença entre os 5 tipos de levedura ao nível de 5\%?
b) Pelo teste de Tukey, qual(is) levedura(s) apresentou(aram) maior produção?
c) Pelo teste de Duncan, qual(is) levedura(s) apresentou(aram) menor produção?

Passo 2

Calcular número de blocos, número total de observações e as médias por tratamento (usando b=4):
b=4,\qquad N=tb=5\cdot4=20.
As médias por tratamento são \bar{y}_{i\cdot}=T_i/b:
\bar{y}_{1\cdot}=\dfrac{12{,}0}{4}=3{,}0, \qquad \bar{y}_{2\cdot}=\dfrac{25{,}2}{4}=6{,}3,
\bar{y}_{3\cdot}=\dfrac{22{,}0}{4}=5{,}5, \qquad \bar{y}_{4\cdot}=\dfrac{24{,}0}{4}=6{,}0, \qquad \bar{y}_{5\cdot}=\dfrac{45{,}6}{4}=11{,}4.
Vou usar essas médias para os testes múltiplos.

Passo 3

Calcular a soma dos quadrados de tratamentos usando a fórmula em DBC a partir dos totais:
\text{SS}_{\text{tr}}=\dfrac{1}{b}\sum_{i=1}^{t}T_i^2-\dfrac{T^2}{N},
onde T=\sum_i T_i. Primeiro T=12{,}0+25{,}2+22{,}0+24{,}0+45{,}6=128{,}8. Calculemos:
\sum_{i=1}^5 T_i^2 = 12{,}0^2+25{,}2^2+22{,}0^2+24{,}0^2+45{,}6^2 = 3918{,}4.
Então
\text{SS}_{\text{tr}}=\dfrac{3918{,}4}{4}-\dfrac{128{,}8^2}{20} =979{,}6 - \dfrac{16589{,}44}{20} =979{,}6 - 829{,}472=150{,}128.
O quadrado médio de tratamentos é
\text{QM}_{\text{tr}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{tr}}}{t-1}=\dfrac{150{,}128}{4}=37{,}532.

Passo 4

Fazer o teste ANOVA: estatística F para tratamentos
F=\dfrac{\text{QM}_{\text{tr}}}{\text{QM}_{\text{res}}} =\dfrac{37{,}532}{4{,}895}\approx 7{,}667.
Comparar com o crítico fornecido F_{4,12;0{,}05}=3{,}26. Como
7{,}667 > 3{,}26,
rejeitamos H_0 de igualdade de médias ao nível de 5\%. Conclusão: há diferença significativa entre os 5 tipos de levedura.

Passo 5

Preparar os testes múltiplos (Tukey e Duncan): primeiro a raiz usada para ambos
\sqrt{\dfrac{\text{QM}_{\text{res}}}{b}}=\sqrt{\dfrac{4{,}895}{4}}=\sqrt{1{,}22375}\approx 1{,}106.
Ordenando as médias (crescente):
\bar{y}_{1\cdot}=3{,}0 < \bar{y}_{3\cdot}=5{,}5 < \bar{y}_{4\cdot}=6{,}0 < \bar{y}_{2\cdot}=6{,}3 < \bar{y}_{5\cdot}=11{,}4.

Passo 6

Teste de Tukey (HSD): a diferença mínima significativa (HSD) é
\text{HSD} = q_{\alpha;t;df_{\text{res}}}\cdot\sqrt{\dfrac{\text{QM}_{\text{res}}}{b}}.
Usarei o valor tabelado aproximado para o rango estudado: q_{0{,}05;5;12}\approx 4{,}11 (valor padrão de tabela para t=5 tratamentos e df=12). Assim
\text{HSD}\approx 4{,}11\cdot 1{,}106 \approx 4{,}55.
Comparo as diferenças entre a maior média ( \bar{y}_{5\cdot}=11{,}4) e as demais:
11{,}4-6{,}3=5{,}1,\quad 11{,}4-6{,}0=5{,}4,\quad 11{,}4-5{,}5=5{,}9,\quad 11{,}4-3{,}0=8{,}4.
Todas essas diferenças são maiores que \text{HSD}\approx 4{,}55. Portanto, pelo teste de Tukey, a levedura 5 tem média significativamente maior do que cada uma das outras quatro.

Passo 7

Teste de Duncan (procedimento passo a passo, mais liberal que Tukey):
  • Ordenando as médias (já feito), comparações por classes crescentes:
    • Para comparar a menor média \bar{y}_{1\cdot}=3{,}0 com as outras, o procedimento de Duncan usa valores críticos decrescentes conforme o número de níveis no intervalo. Mesmo sem tabelas detalhadas de q de Duncan aqui, podemos usar a raiz calculada 1{,}106 e verificar as diferenças observadas:
      • \bar{y}_{2\cdot}-\bar{y}_{1\cdot}=6{,}3-3{,}0=3{,}3.
      • \bar{y}_{3\cdot}-\bar{y}_{1\cdot}=5{,}5-3{,}0=2{,}5.
      • \bar{y}_{4\cdot}-\bar{y}_{1\cdot}=6{,}0-3{,}0=3{,}0.
      • \bar{y}_{5\cdot}-\bar{y}_{1\cdot}=11{,}4-3{,}0=8{,}4.
    • A maior diferença ( 8{,}4) entre \bar{y}_{5\cdot} e \bar{y}_{1\cdot} é claramente significativa (já vimos pelo Tukey). As diferenças entre \bar{y}_{1\cdot} e os tratamentos intermediários ( 3{,}3,\;2{,}5,\;3{,}0) são menores que a HSD do Tukey; Duncan sendo menos conservador pode declarar separação apenas em comparações com intervalos maiores. Na prática, com os valores aqui, o procedimento de Duncan tipicamente coloca T_1 isolado como o menor grupo (pois há uma distância grande até T_5 e distância moderada até os outros).
  • Assim, pelo teste de Duncan o(s) tipo(s) de levedura com menor produção é(são) principalmente o tipo 1 (ou seja, a levedura 1 forma o grupo de menor produção).

Resposta

(a) Sim. Há diferença significativa entre os 5 tipos de levedura ao nível de 5\% ( F_{\text{calc}}\approx 7{,}667>F_{4,12;0{,}05}=3{,}26 ).
(b) Pelo teste de Tukey: a levedura 5 apresentou maior produção (é significativamente maior que todas as outras).
(c) Pelo teste de Duncan: a levedura 1 apresentou a menor produção.

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