5- Num experimento sobre movimento retilíneo uniformemente variado, utilizando um trilho de ar, foram obtidos, para um carrinho que parte do repouso, os seguintes resultados:
0,09 0,00
0,29 0,50
0,86 1,00
1,77 1,50
3,10 2,00
4,85 2,50
a) Faça um gráfico no papel milimetrado.
b) Determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados e a represente no gráfico.
c) Quanto vale o coeficiente angular obtido? Qual o significado físico do mesmo?

Passo 1

O enunciado trata de um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) em que o carrinho parte do repouso. Medimos a posição x em função do tempo t e queremos:
– (a) plotar x versus t^2;
– (b) ajustar uma reta por mínimos quadrados;
– (c) extrair o coeficiente angular e interpretar fisicamente.
Em MRUV, sabemos que
x = x0 + tfrac12,a,t^2,
logo ao plotar x versus t^2 esperamos uma reta de coeficiente angular tfrac12a e intercepto x0.

Passo 2

Calculemos t^2 e organizemos os pares (t^2,x):
c|cccccc t;( s)&0,00&0,50&1,00&1,50&2,00&2,50hline t^2;( s^2)&0&0,25&1&2,25&4&6,25 x;( m)&0,09&0,29&0,86&1,77&3,10&4,85

Passo 3

Para (a), em papel milimetrado colocamos t^2 no eixo horizontal e x no vertical, e marcamos os pontos
(0,0,09),,(0,25,0,29),,(1,0,86),,(2,25,1,77),,(4,3,10),,(6,25,4,85).
Eles ficam aproximadamente alinhados, indicando a validade do modelo x=x0+tfrac12 a,t^2.

Passo 4

Para (b), use o método dos mínimos quadrados numa reta x = afit,t^2 + bfit.
Calculemos as somas:
n&=6, sum t^2 &=13,75, sum x =10,96, sum (t^2)^2 &=61,1875, sum (t^2,x)=47,6275
O coeficiente angular é
afit =nsum(t^2x)-sum t^2sum x nsum(t^2)^2-(sum t^2)^2 =6cdot47,6275-13,75cdot10,966cdot61,1875-13,75^2 approx0,7585;m/s^2
O intercepto é
bfit =sum x - afitsum t^2n approx10,96-0,7585cdot13,756 approx0,0884; m
Logo a reta ajustada é
boxed x approx 0,7585,t^2 + 0,0884

Passo 5

Para (c), o coeficiente angular encontrado vale
boxedafitapprox0,7585;m/s^2
Fisicamente, em MRUV temos x=x0+tfrac12a,t^2, portanto
afit=tfrac12,a
Isso significa que a aceleração real do carrinho é
a=2,afitapprox2times0,7585=1,517;m/s^2,
e o intercepto bfit=0,0884 m corresponde à posição inicial x0.

Resposta

(a) Gráfico de x versus t^2 com pontos quase colineares.
(b) Reta de ajuste x=0,7585,t^2+0,0884.
(c) Coeficiente angular 0,7585,m/s ^2, que equivale a tfrac12 da aceleração do carrinho.

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