Uma fonte luminosa coerente com intensidade
e comprimento de onda
, incide transversalmente em um sistema de fenda dupla, cujas fendas são separadas por uma distância de
. Qual a intensidade luminosa do segundo pico de máximo de interferência em um anteparo situado à uma distância
desse sistema de fendas? Dado que
. (Resp:
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Fonte coerente com intensidade
e comprimento de onda . - Sistema de duas fendas com separação
. - Há um anteparo a uma distância
das fendas (posição do anteparo não precisa ser num valor numérico para resolver). - Pergunta: qual a intensidade luminosa do segundo pico de máximo de interferência observado no anteparo?
Observação importante (assunção padrão usada em problemas de fenda dupla): cada fenda, isoladamente, produz uma intensidade média
no ponto do anteparo (ou seja,
é a intensidade produzida por uma fenda sozinha no local considerado). Não vou pedir confirmação — vou usar essa interpretação porque é a convenção típica que leva à resposta pedida.
Passo 2
Primeiro vamos modelar os campos elétricos produzidos pelas duas fendas. Cada fenda gera uma onda harmônica de mesma frequência e mesma amplitude (coerentes). Escrevemos as duas ondas no ponto do anteparo como
onde:
-
é a amplitude máxima de cada onda (mesma para as duas fendas), -
é a frequência angular, -
é a diferença de fase entre as ondas no ponto do anteparo, causada pela diferença de caminho entre as fendas.
Passo 3
A intensidade observada é proporcional ao valor médio no tempo do quadrado do campo resultante. Primeiro somamos os campos:
Usamos a identidade trigonométrica dada no enunciado:
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Agora calculamos a intensidade média: lembre que a intensidade elétrica instantânea é proporcional a
e a intensidade média no tempo usa a média de
, cuja média é
. Então
A média temporal faz
, portanto a intensidade resultante vale (proporcionalidade constante idem para todos os casos)
Passo 5
Relacionamos
com a intensidade de uma fenda isolada. A intensidade produzida por uma fenda sozinha é a média de
:
Dessa igualdade tiramos
Passo 6
Substituímos
na expressão da intensidade total e obtemos a fórmula padrão de interferência para duas fendas idênticas:
Essa é a fórmula que diz como a intensidade varia com a diferença de fase
.
Passo 7
Agora ligamos a diferença de fase
com o caminho: a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas vale
(ângulo
relativo à normal). A diferença de fase associada é
Os máximos de interferência (picos) ocorrem quando a diferença de caminho é um múltiplo inteiro de
:
Nesse caso a fase é
.
Passo 8
No máximo,
então
e
para todo inteiro
. Portanto, a intensidade em qualquer máximo de interferência vale
Passo 9
O enunciado pede o segundo pico de máximo de interferência. Isso corresponde ao número de ordem
(o primeiro pico depois do central é
, o segundo é
). Como vimos, qualquer máximo com
inteiro tem intensidade
. Logo para
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