Uma fonte luminosa coerente com intensidade I_{0} e comprimento de onda \lambda, incide transversalmente em um sistema de fenda dupla, cujas fendas são separadas por uma distância de d=3,2 \lambda. Qual a intensidade luminosa do segundo pico de máximo de interferência em um anteparo situado à uma distância L desse sistema de fendas? Dado que \operatorname{sen} \alpha+\operatorname{sen} \beta= 2 \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right). (Resp: I_{A}=4 I_{0} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Fonte coerente com intensidade \,I_{0}\, e comprimento de onda \,\lambda\,.
  • Sistema de duas fendas com separação \,d = 3{,}2\,\lambda\,.
  • Há um anteparo a uma distância \,L\, das fendas (posição do anteparo não precisa ser num valor numérico para resolver).
  • Pergunta: qual a intensidade luminosa do segundo pico de máximo de interferência observado no anteparo?
Observação importante (assunção padrão usada em problemas de fenda dupla): cada fenda, isoladamente, produz uma intensidade média \,I_{0}\, no ponto do anteparo (ou seja, \,I_{0}\, é a intensidade produzida por uma fenda sozinha no local considerado). Não vou pedir confirmação — vou usar essa interpretação porque é a convenção típica que leva à resposta pedida.

Passo 2

Primeiro vamos modelar os campos elétricos produzidos pelas duas fendas. Cada fenda gera uma onda harmônica de mesma frequência e mesma amplitude (coerentes). Escrevemos as duas ondas no ponto do anteparo como
E_1(t) = E_0 \sin(\omega t)
E_2(t) = E_0 \sin(\omega t + \varphi)
onde:
  • \,E_0\, é a amplitude máxima de cada onda (mesma para as duas fendas),
  • \,\omega\, é a frequência angular,
  • \,\varphi\, é a diferença de fase entre as ondas no ponto do anteparo, causada pela diferença de caminho entre as fendas.

Passo 3

A intensidade observada é proporcional ao valor médio no tempo do quadrado do campo resultante. Primeiro somamos os campos:
E(t) = E_1(t) + E_2(t) = E_0\sin(\omega t) + E_0\sin(\omega t + \varphi).
Usamos a identidade trigonométrica dada no enunciado:
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta=2\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right).
Aplicando com \,\alpha=\omega t\, e \,\beta=\omega t+\varphi\, obtemos
E(t)=2E_0\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(\omega t + \frac{\varphi}{2}\right).

Passo 4

Agora calculamos a intensidade média: lembre que a intensidade elétrica instantânea é proporcional a E^2(t) e a intensidade média no tempo usa a média de \sin^2, cuja média é 1/2. Então
E^2(t)=4E_0^2\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin^2\!\left(\omega t + \frac{\varphi}{2}\right).
A média temporal faz \langle \sin^2(\cdot)\rangle = \tfrac{1}{2}, portanto a intensidade resultante vale (proporcionalidade constante idem para todos os casos)
I = 4E_0^2\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=2E_0^2\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).

Passo 5

Relacionamos E_0 com a intensidade de uma fenda isolada. A intensidade produzida por uma fenda sozinha é a média de E_1^2:
I_{0}=\langle E_1^2\rangle = \langle E_0^2\sin^2(\omega t)\rangle = E_0^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{E_0^2}{2}.
Dessa igualdade tiramos
E_0^2 = 2I_{0}.

Passo 6

Substituímos E_0^2 na expressão da intensidade total e obtemos a fórmula padrão de interferência para duas fendas idênticas:
I = 2(2I_{0})\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)=4I_{0}\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).
Essa é a fórmula que diz como a intensidade varia com a diferença de fase \varphi.

Passo 7

Agora ligamos a diferença de fase \varphi com o caminho: a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas vale \,\Delta = d\sin\theta\, (ângulo \theta relativo à normal). A diferença de fase associada é
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
Os máximos de interferência (picos) ocorrem quando a diferença de caminho é um múltiplo inteiro de \lambda:
d\sin\theta = m\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.
Nesse caso a fase é \varphi = 2\pi m.

Passo 8

No máximo, \varphi = 2\pi m então \dfrac{\varphi}{2}=\pi m e
\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\cos^2(\pi m)=1
para todo inteiro m. Portanto, a intensidade em qualquer máximo de interferência vale
I_{\text{máx}}=4I_{0}.á

Passo 9

O enunciado pede o segundo pico de máximo de interferência. Isso corresponde ao número de ordem m=2 (o primeiro pico depois do central é m=1, o segundo é m=2). Como vimos, qualquer máximo com m inteiro tem intensidade 4I_{0}. Logo para m=2 temos
I_{A}=4I_{0}.

Resposta

I_{A}=4I_{0}

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