Em uma experiência de interferência de Young uma luz magenta, constituída por uma mistura de luz vermelha (de comprimento de onda de 600 nm ) e luz azul (comprimento de onda de 400 nm ) de mesma intensidade da luz vermelha, incide perpendicularmente num plano onde atravessa duas fendas paralelas separadas de 20,0 \mu m e alcança um anteparo paralelo ao plano, a 5 m de distância. Neste, há um semi eixo Oy perpendicular à direção das fendas, cuja origem também está a 5 m do ponto médio entre estas. Obtenha o primeiro valor de y>0 onde há um máximo de luz magenta (intensidades máximas de vermelho e azul no mesmo local). Se necessário, utilize \tan \theta \approx \sin \theta. (Resp: 0,3 \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o primeiro valor de y>0 no anteparo onde há um máximo de luz magenta, ou seja, onde as intensidades máximas da luz vermelha e da luz azul ocorrem no mesmo ponto. Dados fornecidos:
\text{comprimento de onda vermelho: }\lambda_{\text{ver}}=600\\ \mathrm{nm}
\text{comprimento de onda azul: }\lambda_{\text{az}}=400\\ \mathrm{nm}
\text{separação das fendas: }d=20{,}0\\ \mu\mathrm{m}çã
\text{distância ao anteparo (do ponto médio): }L=5{,}0\\ \mathrm{m}âé
Observação do enunciado: usar, se necessário, \tan\theta\approx\sin\theta. Vou buscar o menor y>0 tal que os máximos de ambas as cores coincidam. Respire — vamos resolver passo a passo, sem pânico.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que usamos (aulas rápidas):
  • Em um experimento de dupla fenda, um máximo de interferência (interferência construtiva) ocorre quando a diferença de caminhos entre as duas ondas é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A condição de máximos é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a distância entre as fendas,
  • \theta é o ângulo medido a partir da normal ao plano das fendas até a direção do máximo,
  • m\in\{0,1,2,\dots\} é a ordem do máximo (com m=0 sendo o máximo central),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz considerada.
  • No anteparo a distância vertical y do ponto central (origem) ao máximo, para pequenos ângulos, satisfaz
y \approx L\tan\theta \approx L\sin\theta,
pois foi sugerido \tan\theta\approx\sin\theta (pequeno ângulo).

Passo 3

Aplicando a condição de máximos para cada cor, para o mesmo ângulo \theta devemos ter
d\sin\theta = m_{\text{ver}}\lambda_{\text{ver}}
e
d\sin\theta = m_{\text{az}}\lambda_{\text{az}}.
Igualando as duas expressões obtemos a relação entre as ordens:
m_{\text{ver}}\lambda_{\text{ver}} = m_{\text{az}}\lambda_{\text{az}}.
Daí
\frac{m_{\text{ver}}}{m_{\text{az}}} = \frac{\lambda_{\text{az}}}{\lambda_{\text{ver}}}.
Agora substituímos os comprimentos de onda:
\frac{m_{\text{ver}}}{m_{\text{az}}} = \frac{400\\ \mathrm{nm}}{600\\ \mathrm{nm}} = \frac{2}{3}.
Procuramos o menor par de inteiros positivos (m_{\text{ver}},m_{\text{az}}) que satisfaça essa razão. A menor escolha inteira é
m_{\text{ver}}=2,\qquad m_{\text{az}}=3,
pois para m_{\text{ver}}=1 teríamos m_{\text{az}}=1{,}5 (não inteiro). Logo o primeiro y>0 ocorre para m_{\text{ver}}=2 e m_{\text{az}}=3.

Passo 4

Agora calculamos o ângulo \theta usando, por exemplo, a condição do vermelho:
d\sin\theta = m_{\text{ver}}\lambda_{\text{ver}}.
Vamos converter unidades e calcular passo a passo. Dados em unidades SI:
\lambda_{\text{ver}}=600\\ \mathrm{nm}=600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}
d=20{,}0\\ \mu\mathrm{m}=20{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
m_{\text{ver}}=2
Substituindo:
\sin\theta = \frac{m_{\text{ver}}\lambda_{\text{ver}}}{d} = \frac{2\cdot(600\times10^{-9})}{2{,}0\times10^{-5}}.
Calculemos o numerador e depois a divisão:
2\cdot600\times10^{-9}=1200\times10^{-9}=1{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Então
\sin\theta = \frac{1{,}2\times10^{-6}}{2{,}0\times10^{-5}} = \frac{1{,}2}{20} = 0{,}06.
Podemos conferir rapidamente com a condição do azul:
\frac{m_{\text{az}}\lambda_{\text{az}}}{d}=\frac{3\cdot(400\times10^{-9})}{2{,}0\times10^{-5}}=\frac{1200\times10^{-9}}{2{,}0\times10^{-5}}=0{,}06,
mesma coisa — bom sinal.

Passo 5

Agora passamos para y. Usando a aproximação \tan\theta\approx\sin\theta e y\approx L\tan\theta:
y \approx L\sin\theta = 5{,}0\\ \mathrm{m}\times 0{,}06 = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
Portanto o primeiro y>0 onde vermelho e azul têm máximos no mesmo ponto é 0{,}30\\ \mathrm{m}.

Resposta

0{,}3\\ \mathrm{m}

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