Sua empresa possui um filtro prensa com área total de 48 \mathrm{~m}^{2}. Calcule capacidade do seu filtro industrial para filtrar a solução em questão em um ciclo, sabendo que a torta precisa ser lavada por 1 litro de água por kg de torta formada usando lavagem completa. O filtro deve ser descarregado quando a massa de torta seca no filtro é de 1100 kg . Calcule a capacidade de operação usando as variáveis de operação nas condições do teste de laboratório. Considere que o ciclo de montagem e descarregamento de 30 minutos. Caso o volume total a ser filtrado antes do descarregamento do filtro fosse dividido pela metade, qual o tempo total seria gasto para filtrar a mesma quantidade calculada no item anterior. Compare com o caso anterior.
Dados do experimento em laboratório:
Viscosicade: 1,00E-03 Pa.s
Area: 3,32 \mathrm{E}-03 \mathrm{~m}^{2}
-\Delta \mathrm{P}: 50800 Pa
Cs: 37 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{2}
Tempo (s) Volume (ml) Volume ( \mathrm{m}^{2} ) \frac{t / v}{t}
38 30 3.00E-5 1266567
57 40 4,00E-5 1425000
82 50 5,00E-5 1640000
117 60 6,00E-5 1950000
154 70 7.005-5 2200000
197 80 8,00E-5 2462500
247 90 9.00E-5 2744444
300 100 1,00E-4 3000000
359 110 1.10E-4 3263636
Resposta:
Tempo
Total (h)
Capacidade
\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right)
Caso 1
\left(V_{1}=29.73 \mathrm{~m}^{3}\right)
39.9 0.7451
Caso 2
\left(V_{1}=14.86 \mathrm{~m}^{3}\right)
10.41 1.427

Passo 1

O que o problema pede e os dados disponíveis.
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular a capacidade do filtro industrial para filtrar a solução em um ciclo, sabendo que a torta deve ser lavada com 1 L de água por kg de torta seca formada, e que o filtro será descarregado quando a massa de torta seca no filtro for 1100 kg. Considere ciclo de montagem/descarregamento de 30 minutos.
  2. Caso o volume total a ser filtrado antes do descarregamento fosse dividido pela metade, qual o tempo total gasto para filtrar a mesma quantidade calculada no item anterior? Comparar com o caso anterior.
Informações fornecidas (vou listar tudo que me deram):
  • Área do filtro industrial: \;A_{ind}=48\\ \mathrm{m}^2.
  • Descarregamento quando massa de torta seca = \;m_{torta}=1100\\ \mathrm{kg}.
  • Lavagem: \;1\\ \mathrm{L} de água por \;1\\ \mathrm{kg} de torta seca → volume de lavagem por ciclo \;V_{wash} = 1{,}0\\ \mathrm{L/kg}\times 1100\\ \mathrm{kg} = 1100\\ \mathrm{L}=1{,}1\\ \mathrm{m}^3.
  • Ciclo montagem/descarregamento: \;t_{mont}=30\\ \mathrm{min}=0{,}5\\ \mathrm{h}.
  • Dados do experimento de laboratório:
    • Viscosidade: \;\mu=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Área de teste (laboratório): \;A_{lab}=3{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
    • Pressão: \;-\Delta P = 50800\\ \mathrm{Pa}.
    • Concentração de sólidos na alimentação (nota: a tabela indicou “Cs = 37 \mathrm{Kg}/\mathrm{m}^2”, mas para que os números façam sentido usamos esse valor como concentração de sólidos na alimentação) \;c_s = 37\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Tabela experimental (cada linha: tempo t em s, volume filtrado V em mL e em m^3, e razão t/V):
    • (vou usar os valores em metros cúbicos e t/V conforme a tabela)
    • \{(t,V): (38,\,3{,}00\times10^{-5}),\\ (57,\,4{,}00\times10^{-5}),\\ (82,\,5{,}00\times10^{-5}),\\ (117,\,6{,}00\times10^{-5}),\\ (154,\,7{,}00\times10^{-5}),\\ (197,\,8{,}00\times10^{-5}),\\ (247,\,9{,}00\times10^{-5}),\\ (300,\,1{,}00\times10^{-4}),\\ (359,\,1{,}10\times10^{-4})\}.
    • A coluna calculada é \;t/V (em \mathrm{s/m}^3) cujos valores estão na tabela fornecida.
Observações importantes:
  • A partir da tabela experimental podemos ajustar uma reta à relação clássica de filtração (em pressão constante): a relação experimental é \; \dfrac{t}{V} = m\;V + b, onde m é o coeficiente associado à formação da torta (slope) e b é o termo associado à resistência do meio filtrante (intercept).
  • Não há outras informações gráficas faltando — temos os dados experimentais numéricos suficientes para obter m e b.

Passo 2

Conceito teórico usado (aula rápida, sem pular etapas).
Na filtração em pressão constante a equação clássica (para regime em que se forma torta) se rearranja experimentalmente na forma linear:
\frac{t}{V} = m\,V + b.
Explicando cada termo:
  • \;t é o tempo acumulado de filtração (s) para filtrar um volume \;V (m^3).
  • \;\dfrac{t}{V} tem unidades de \mathrm{s/m}^3 e é a razão tempo por volume.
  • \;m (slope) é o coeficiente ligado à resistência da torta crescente e depende de \mu (viscosidade), \alpha (resistência específica da torta), \;c_s (concentração de sólidos), \Delta P e da área A. Em termos físicos: m \propto \frac{\mu\,\alpha\,c_s}{2\,A^2\,\Delta P}.
  • \;b (intercept) está associado à resistência fixa do meio filtrante (e vazão sem formação de torta) e escala como b \propto \frac{\mu\,R_m}{A\,\Delta P},onde R_m é a resistência do meio filtrante.
  • Uma vez que ajustamos \;m_{lab} e \;b_{lab} a partir dos dados de laboratório (área \;A_{lab}), podemos escalá-los para a área industrial \;A_{ind} usando as proporções: m_{ind} = m_{lab}\left(\frac{A_{lab}}{A_{ind}}\right)^2,\qquad b_{ind} = b_{lab}\left(\frac{A_{lab}}{A_{ind}}\right).
  • Depois de obter \;m_{ind} e \;b_{ind}, o tempo para filtrar um volume de alimentação \;V (apenas o volume de polpa contendo sólidos) é: t_{slurry} = m_{ind}\,V^2 + b_{ind}\,V.
  • O tempo para filtrar a água de lavagem (quando já não se adicionam sólidos) corresponde somente ao termo do meio filtrante (não há crescimento adicional de torta), portanto: t_{wash} = b_{ind}\,V_{wash}.
  • O tempo total por ciclo será: t_{cycle} = t_{slurry} + t_{wash} + t_{mont},com t_{mont} em horas (converteremos segundos para horas no final).

Passo 3

Ajuste linear dos dados experimentais (obtendo m_{lab} e b_{lab}) — passo a passo.
Nós temos os pares (V_i,\;t_i). Note que \;V_i\cdot (t_i/V_i)=t_i, então ao trabalhar com x=V e y=t/V podemos usar a regressão linear padrão (mínimos quadrados) para obter coeficiente angular m_{lab} e intercepto b_{lab}.
Cálculos essenciais (resumo aritmético para a regressão usando os 9 pontos fornecidos):
  • Número de pontos: \;n=9.
  • Soma dos volumes: \;\sum V_i = 6{,}3\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Média dos volumes: \;\bar V = 7{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Soma dos t/V: \;\sum (t_i/V_i) = 19\,952\,147\\ \mathrm{s/m}^3.
  • Média de t/V: \;\overline{t/V}=2\,216\,905{,}22\\ \mathrm{s/m}^3.
  • Soma de V_i^2: \;\sum V_i^2 = 5{,}01\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^6.
  • Soma de V_i(t_i/V_i) é \sum t_i = 1551\\ \mathrm{s} (note a identidade V\cdot(t/V)=t).
Usando a fórmula da regressão linear:
m_{lab} = \frac{\sum V_i (t_i/V_i) - n\bar V\,\overline{t/V}}{\sum V_i^2 - n\bar V^2},
b_{lab} = \overline{t/V} - m_{lab}\,\bar V.
Substituindo os valores (cálculos diretos):
  • Numerador: \sum V_i (t_i/V_i) - n\bar V\,\overline{t/V} = \sum t_i - n\bar V\,\overline{t/V} = 1551 - 1{,}396{,}650{,}29\times10^{-3}\approx 154{,}349{,}71.(usei os valores numéricos apurados acima).
  • Denominador: \sum V_i^2 - n\bar V^2 = 5{,}01\times10^{-8} - 9(7\times10^{-5})^2 = 6{,}00\times10^{-9}.
  • Logo: m_{lab}\approx \frac{154{,}349{,}71}{6{,}00\times10^{-9}} \approx 2{,}572495\times10^{10}\\ \mathrm{s/m}^6.
  • Intercepto: b_{lab} = 2{,}216{,}905{,}22 - m_{lab}\cdot7{,}0\times10^{-5} \approx 416{,}158{,}72\\ \mathrm{s/m}^3.
(Resumo): obtivemos
m_{lab}\approx 2{,}5725\times10^{10},\qquad b_{lab}\approx 4{,}1616\times10^{5}.

Passo 4

Escalar os coeficientes para a área do filtro industrial ( A_{ind}=48\\ \mathrm{m}^2).
Escala:
m_{ind} = m_{lab}\left(\frac{A_{lab}}{A_{ind}}\right)^2,\qquad b_{ind} = b_{lab}\left(\frac{A_{lab}}{A_{ind}}\right).
Calculemos os fatores:
  • \dfrac{A_{lab}}{A_{ind}} = \dfrac{3{,}32\times10^{-3}}{48} \approx 6{,}9166667\times10^{-5}.
  • Então \left(\dfrac{A_{lab}}{A_{ind}}\right)^2 \approx 4{,}7850694\times10^{-9}.
Aplicando:
m_{ind} \approx 2{,}572495\times10^{10}\times 4{,}7850694\times10^{-9} \approx 123{,}10\quad(\mathrm{s/m}^6 \text{ na escala industrial}),
b_{ind} \approx 416{,}158{,}72\times 6{,}9166667\times10^{-5} \approx 28{,}78\quad(\mathrm{s/m}^3 \text{ na escala industrial}).
Portanto:
m_{ind}\approx 1{,}2310\times10^{2},\qquad b_{ind}\approx 2{,}878\times10^{1}.

Passo 5

Calcular o volume de alimentação (polpa) por ciclo que contém 1100\\ \mathrm{kg} de sólidos.
A concentração de sólidos (uso o dado fornecido) é \;c_s=37\\ \mathrm{kg/m}^3. Então o volume de polpa necessário para formar 1100\\ \mathrm{kg} de sólidos é:
V_{slurry} = \frac{m_{torta}}{c_s} = \frac{1100}{37} \approx 29{,}72973\\ \mathrm{m}^3.
O volume de lavagem por ciclo é \;V_{wash}=1{,}1\\ \mathrm{m}^3 (conforme Passo 1).

Passo 6

Calcular o tempo de filtração para o volume de polpa ( t_{slurry}), o tempo para a lavagem ( t_{wash}), somar o tempo de montagem/desmontagem e obter o tempo total do ciclo.
Tempo para filtrar a polpa (usando a forma correta onde a parte quadrática vem só do acréscimo de torta):
t_{slurry} = m_{ind}\,V_{slurry}^2 + b_{ind}\,V_{slurry}.
Substituindo:
  • V_{slurry}^2 = (29{,}72973)^2 \approx 883{,}8729.
  • m_{ind}\,V_{slurry}^2 \approx 123{,}10\times883{,}8729 \approx 108{,}805\\ \mathrm{s}.
  • b_{ind}\,V_{slurry} \approx 28{,}78\times29{,}72973 \approx 855{,}1\\ \mathrm{s}.
  • Logo t_{slurry}\approx 108{,}805 + 855{,}1 \approx 109{,}660\\ \mathrm{s} \approx 30{,}461\\ \mathrm{h}.
Tempo para lavar (não se forma mais torta durante a lavagem, portanto só o termo do meio filtrante):
t_{wash} = b_{ind}\,V_{wash} \approx 28{,}78\times1{,}1 \approx 31{,}66\\ \mathrm{s} \approx 0{,}0088\\ \mathrm{h}.
Tempo total do ciclo (em horas):
t_{cycle} = \frac{t_{slurry} + t_{wash}}{3600} + t_{mont}.
Substituindo:
  • \dfrac{t_{slurry}+t_{wash}}{3600} \approx \dfrac{109{,}660+31{,}66}{3600}\approx 30{,}46\\ \mathrm{h}.
  • Adicionando montagem/desmontagem t_{mont}=0{,}5\\ \mathrm{h}: t_{cycle} \approx 30{,}46 + 0{,}5 = 30{,}96\\ \mathrm{h}.
Capacidade operacional (volume efetivamente filtrado por hora, levando em conta o tempo total do ciclo):
\dot V = \frac{V_{slurry}}{t_{cycle}} = \frac{29{,}72973}{30{,}96}\approx 0{,}960\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
(Observação didática: eu separei explicitamente o tempo de lavagem, pois durante a lavagem não se adicionam sólidos; portanto o termo quadrático relacionado ao acúmulo de torta não deve ser aplicado ao volume de lavagem.)

Passo 7

Caso 2: dividir o volume total antes do descarregamento pela metade — cálculo do tempo total necessário para filtrar a mesma massa de sólidos (1100 kg) por etapas de volumes menores.
Interpretação do enunciado: se o volume total que sem interrupção seria filtrado ( V_{slurry}=29{,}72973\\ \mathrm{m}^3) for dividido em dois lotes iguais, cada lote terá:
V_{half} = \frac{V_{slurry}}{2} \approx 14{,}864865\\ \mathrm{m}^3.
Cada lote tem sua própria necessidade de lavagem proporcional à massa de torta daquele lote: metade da torta → lavagem =0{,}55\\ \mathrm{m}^3.
Para cada lote calculamos:
  • Tempo de filtração do lote (cada lote): t_{slurry,half} = m_{ind}\,V_{half}^2 + b_{ind}\,V_{half}.Calcule:
    • V_{half}^2 = \dfrac{V_{slurry}^2}{4} \approx 883{,}8729/4 \approx 220{,}9682.
    • m_{ind}\,V_{half}^2 \approx 123{,}10\times220{,}9682 \approx 27{,}185\\ \mathrm{s}.
    • b_{ind}\,V_{half} \approx 28{,}78\times14{,}864865 \approx 427{,}4\\ \mathrm{s}.
    • t_{slurry,half}\approx 27{,}185 + 427{,}4 = 27{,}612{,}4\\ \mathrm{s}\approx 7{,}67\\ \mathrm{h}.
  • Tempo de lavagem do lote: t_{wash,half}= b_{ind}\,V_{wash,half} \approx 28{,}78\times0{,}55 \approx 15{,}83\\ \mathrm{s}\approx 0{,}0044\\ \mathrm{h}.
  • Cada lote tem também o tempo de montagem/desmontagem t_{mont}=0{,}5\\ \mathrm{h}. Se dividirmos em dois lotes, teremos duas montagens/desmontagens (uma por lote), portanto o tempo total de montagem acumulado é 2\times0{,}5=1{,}0\\ \mathrm{h}.
Tempo total para filtrar os dois lotes (somando os tempos dos dois lotes):
t_{total,2} = 2\left(\frac{t_{slurry,half}+t_{wash,half}}{3600}\right) + 2\,t_{mont}.
Substituindo:
  • Tempo filtragem dos dois lotes em horas: 2\times7{,}67\\ \mathrm{h} \approx 15{,}34\\ \mathrm{h}.
  • Tempo de montagem total: 1{,}0\\ \mathrm{h}.
  • Portanto t_{total,2}\approx 15{,}34 + 1{,}0 \approx 16{,}34\\ \mathrm{h}.
Capacidade resultante para o caso em que se opera dividindo o volume em dois lotes (capacidade média sobre o tempo total gasto para filtrar os 29{,}73\\ \mathrm{m}^3 no total):
\dot V_{2} = \frac{V_{slurry}}{t_{total,2}} = \frac{29{,}72973}{16{,}34}\approx 1{,}82\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.

Passo 8

Comparação e comentários finais (didática e incentivo).
  • No caso 1 (filtrar todo o volume de polpa de uma só vez e depois lavar) o tempo total por ciclo ficou em torno de \;30{,}96\\ \mathrm{h} (incluindo o tempo de montagem/desmontagem de 0{,}5 h) e a capacidade média operacional é \approx 0{,}960\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • No caso 2 (dividir o volume em dois lotes iguais) o tempo total acumulado para filtrar a mesma massa de sólidos, incluindo duas montagens/desmontagens, ficou em torno de \;16{,}34\\ \mathrm{h} e a capacidade média resultante é \approx 1{,}82\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Observação importante (didática): dividir o volume em lotes menores aumenta a fração do tempo gasto em “filtração com torta menor” (a componente quadrática m\,V^2 diminui bastante porque V^2 é sensível a divisão), porém custa mais interrupções (montagem/desmontagem). No nosso caso os tempos de montagem são pequenos comparados ao efeito de reduzir V^2, então dividir em dois lotes melhora bastante a vazão média. Essa é a razão prática pela qual, em algumas operações industriais, faz sentido operar em ciclos menores se as perdas de tempo por troca não forem grandes.
  • Forneci os cálculos passo a passo para que você consiga reproduzir esses números na prova: ajuste da reta t/V vs V, escalonamento por área, cálculo de tempo quadrático para a polpa e tempo linear para a lavagem, e inclusão do tempo fixo de montagem.

Resposta

Caso 1 (um lote, V_{slurry}=29{,}73\\ \mathrm{m}^3): Tempo total ≈ 30{,}96\\ \mathrm{h}; Capacidade ≈ 0{,}960\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
Caso 2 (dois lotes, cada um V_{half}=14{,}86\\ \mathrm{m}^3): Tempo total ≈ 16{,}34\\ \mathrm{h}; Capacidade ≈ 1{,}82\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.

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