Which of the following functions
has a removable discontinuity at
? If the discontinuity is removable, find a function
that agrees with
for
and is continuous at
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para analisar a descontinuidade em
. O tema aqui é continuidade e limite de funções racionais, e a gente vai precisar fatorar o numerador e calcular um limite para ver se a descontinuidade em
é removível.
Passo 2
Observamos que o numerador é uma diferença de quadrados composta:
Logo, para
podemos simplificar
Passo 3
Definimos a função
para todo
. Note que, para
, temos
por construção.
Passo 4
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo ponto, inclusive em
. Em particular,
Portanto
e
tinha ali uma descontinuidade do tipo “buraco” que a gente “tampa” definindo
.
Resposta
A descontinuidade em
é removível, e uma escolha de função contínua é
que coincide com
para
e satisfaz
.