Which of the following functions f has a removable discontinuity at a ? If the discontinuity is removable, find a function g that agrees with f for x \neq a and is continuous at a.
f(x)=\frac{x^{4}-1}{x-1}, \quad a=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{4}-1}{x-1}
e pede para analisar a descontinuidade em a=1. O tema aqui é continuidade e limite de funções racionais, e a gente vai precisar fatorar o numerador e calcular um limite para ver se a descontinuidade em x=1 é removível.

Passo 2

Observamos que o numerador é uma diferença de quadrados composta:
x^{4}-1 = (x^{2}-1)(x^{2}+1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1).
Logo, para x\neq1 podemos simplificar
\frac{x^{4}-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}{x-1} = (x+1)(x^{2}+1).

Passo 3

Definimos a função
g(x) = (x+1)(x^{2}+1) = x^{3}+x^{2}+x+1
para todo x. Note que, para x\neq1, temos g(x)=f(x) por construção.

Passo 4

Como g é um polinômio, ela é contínua em todo ponto, inclusive em x=1. Em particular,
g(1) = 1^{3}+1^{2}+1+1 = 4.
Portanto
\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}g(x) = g(1) = 4,
e f tinha ali uma descontinuidade do tipo “buraco” que a gente “tampa” definindo f(1)=4.

Resposta

A descontinuidade em a=1 é removível, e uma escolha de função contínua é
g(x) = x^{3}+x^{2}+x+1,
que coincide com f(x) para x\neq1 e satisfaz g(1)=4.

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