Para explicar a estabilidade do elétron no modelo atômico de Rutherford (sistema planetário), o físico dinamarquês Niels Bohr postulou que o elétron só pode ocupar apenas certas órbitas ao redor do núcleo. Sabendo que o raio de Bohr (raio da orbita para
) é uma constante e é dado por:
Suponha que, em relação a uma orbita n , um elétron absorveu energia e foi promovido para orbita
e ao emitir energia retornou para orbita
. Se a diferença entre os raios da orbita
e a orbita
é:
Quais são os comprimentos de onda em nanômetros (nm) dos fótons emitidos nas transições do elétron da orbita
para
e da orbita
para
?
Passo 1
O enunciado pede os comprimentos de onda (em nanômetros) dos fótons emitidos nas duas transições do elétron: da órbita
para
e da órita
para
. Informações e dados fornecidos:
- Raio de Bohr (raio para
): com fórmula dada . - Relação entre raios: a diferença entre o raio da órbita
e o da órbita é . - No modelo de Bohr (átomo hidrogenoide), o raio da órbita
é .
Perguntas explícitas:
- Qual é o comprimento de onda do fóton emitido na transição
? - Qual é o comprimento de onda do fóton emitido na transição
?
Passo 2
Determinar o valor de
usando
e a condição
.
Calcule a diferença dos raios:
Expanda os quadrados:
Portanto
Igualando à condição do enunciado:
Cancelando
(não nulo) obtemos
Passo 3
Com
as órbitas relevantes são:
Logo as transições pedidas são
e
. Para cada transição precisamos da energia do fóton emitido
e então converter para comprimento de onda pela relação
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Vou usar a forma prática com energias em elétron-volt e comprimento em nanômetros, usando o valor conveniente
(Explicação curta:
e
em unidades SI dão
. Convertendo joules para elétron-volts e metros para nanômetros resulta em
.)
Passo 4
Relembrando a fórmula das energias nas órbitas de Bohr (átomo de hidrogênio):
Aqui
é a energia do elétron na órbita
(valor negativo porque está ligado ao núcleo). Para uma transição
(inicial
, final
) a energia do fóton emitido é
Passo 5
Calcular energias necessárias:
Passo 6
Energia do fóton para a transição
:
Comprimento de onda correspondente:
Arredondando de forma razoável:
Passo 7
Energia do fóton para a transição
:
Comprimento de onda correspondente:
Arredondando:
Passo 8
Resumo rápido didático: primeiro usamos a relação dos raios
para achar
. Depois aplicamos a fórmula das energias de Bohr
para obter as energias iniciais e finais, subtraímos para obter a energia do fóton e convertimos para comprimento de onda com
. Vai dar na prova se fizer esses passos com calma — você conseguiu!