Para explicar a estabilidade do elétron no modelo atômico de Rutherford (sistema planetário), o físico dinamarquês Niels Bohr postulou que o elétron só pode ocupar apenas certas órbitas ao redor do núcleo. Sabendo que o raio de Bohr (raio da orbita para \mathrm{n}=1 ) é uma constante e é dado por:
a=\frac{\varepsilon_{0} h^{2}}{\pi m e^{2}}
Suponha que, em relação a uma orbita n , um elétron absorveu energia e foi promovido para orbita \mathrm{n}+1 e ao emitir energia retornou para orbita \mathrm{n}-1. Se a diferença entre os raios da orbita \mathrm{n}+1 e a orbita \mathrm{n}-1 é:
\Delta r=12 a
Quais são os comprimentos de onda em nanômetros (nm) dos fótons emitidos nas transições do elétron da orbita n+1 para n e da orbita n+1 para n-1 ?

Passo 1

O enunciado pede os comprimentos de onda (em nanômetros) dos fótons emitidos nas duas transições do elétron: da órbita n+1 para n e da órita n+1 para n-1. Informações e dados fornecidos:
  • Raio de Bohr (raio para n=1): a com fórmula dada \displaystyle a=\frac{\varepsilon_{0} h^{2}}{\pi m e^{2}}.
  • Relação entre raios: a diferença entre o raio da órbita n+1 e o da órbita n-1 é \displaystyle \Delta r = 12\,a.
  • No modelo de Bohr (átomo hidrogenoide), o raio da órbita n é \displaystyle r_n = a\,n^{2}.
    Perguntas explícitas:
  1. Qual é o comprimento de onda do fóton emitido na transição (n+1)\to n?
  2. Qual é o comprimento de onda do fóton emitido na transição (n+1)\to (n-1)?

Passo 2

Determinar o valor de n usando \displaystyle r_n = a\,n^{2} e a condição \Delta r = r_{n+1}-r_{n-1}=12\,a.
Calcule a diferença dos raios:
r_{n+1}-r_{n-1}=a\big((n+1)^{2}-(n-1)^{2}\big).
Expanda os quadrados:
(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=(n^{2}+2n+1)-(n^{2}-2n+1)=4n.
Portanto
r_{n+1}-r_{n-1}=a\cdot 4n.
Igualando à condição do enunciado:
4a n = 12 a.
Cancelando a (não nulo) obtemos
4n = 12 \quad\Rightarrow\quad n = 3.

Passo 3

Com n=3 as órbitas relevantes são:
n+1 = 4,\qquad n = 3,\qquad n-1 = 2.
Logo as transições pedidas são 4\to3 e 4\to2. Para cada transição precisamos da energia do fóton emitido \Delta E e então converter para comprimento de onda pela relação
\lambda = \frac{hc}{\Delta E},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Vou usar a forma prática com energias em elétron-volt e comprimento em nanômetros, usando o valor conveniente
hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
(Explicação curta: h e c em unidades SI dão hc\approx 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\times 2{,}998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}. Convertendo joules para elétron-volts e metros para nanômetros resulta em hc\approx1240\,\mathrm{eV\cdot nm}.)

Passo 4

Relembrando a fórmula das energias nas órbitas de Bohr (átomo de hidrogênio):
E_n = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Aqui E_n é a energia do elétron na órbita n (valor negativo porque está ligado ao núcleo). Para uma transição i\to f (inicial i, final f) a energia do fóton emitido é
\Delta E = E_i - E_f.

Passo 5

Calcular energias necessárias:
E_{4} = -\frac{13{,}6}{4^{2}}\\ \mathrm{eV} = -\frac{13{,}6}{16}\\ \mathrm{eV} = -0{,}85\\ \mathrm{eV}.
E_{3} = -\frac{13{,}6}{3^{2}}\\ \mathrm{eV} = -\frac{13{,}6}{9}\\ \mathrm{eV} \approx -1{,}511\\ \mathrm{eV}.
E_{2} = -\frac{13{,}6}{2^{2}}\\ \mathrm{eV} = -\frac{13{,}6}{4}\\ \mathrm{eV} = -3{,}4\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Energia do fóton para a transição 4\to3:
\Delta E_{4\to3} = E_{4}-E_{3} = -0{,}85 - (-1{,}511) = 0{,}661\\ \mathrm{eV}.
Comprimento de onda correspondente:
\lambda_{4\to3} = \frac{hc}{\Delta E_{4\to3}} \approx \frac{1240}{0{,}661}\\ \mathrm{nm} \approx 1875{,}94\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma razoável:
\lambda_{4\to3} \approx 1876\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Energia do fóton para a transição 4\to2:
\Delta E_{4\to2} = E_{4}-E_{2} = -0{,}85 - (-3{,}4) = 2{,}55\\ \mathrm{eV}.
Comprimento de onda correspondente:
\lambda_{4\to2} = \frac{hc}{\Delta E_{4\to2}} \approx \frac{1240}{2{,}55}\\ \mathrm{nm} \approx 486{,}27\\ \mathrm{nm}.
Arredondando:
\lambda_{4\to2} \approx 486{,}3\\ \mathrm{nm}.

Passo 8

Resumo rápido didático: primeiro usamos a relação dos raios r_n=a n^2 para achar n. Depois aplicamos a fórmula das energias de Bohr E_n=-13{,}6\\ \mathrm{eV}/n^2 para obter as energias iniciais e finais, subtraímos para obter a energia do fóton e convertimos para comprimento de onda com \lambda=hc/\Delta E. Vai dar na prova se fizer esses passos com calma — você conseguiu!

Resposta

\lambda_{4\to3} \approx 1876\\ \mathrm{nm}
\lambda_{4\to2} \approx 486{,}3\\ \mathrm{nm}

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