Mostre que, na teoria de Bohr, a frequência ( v ) do fóton emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio ( z=1 ) faz uma transição de uma órbita com número quântico n para uma órbita de número quântico \mathrm{n}-1 é dado por:
v=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left[\frac{2 n-1}{(n-1)^{2} n^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na teoria de Bohr, a frequência v do fóton emitido quando um elétron de um átomo de hidrogênio ( z=1) faz a transição de uma órbita com número quântico n para a órbita com número quântico n-1 é dada por
v=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left[\frac{2 n-1}{(n-1)^{2} n^{2}}\right].
Informações relevantes fornecidas / que usaremos:
  • O átomo é hidrogênio, logo a carga do núcleo é +e (ou seja, Z=1).
  • Usaremos as hipóteses de Bohr: equilíbrio entre força coulombiana e força centrípeta e quantização do momento angular.
  • Constantes que aparecem: m (massa do elétron), e (carga elementar), \varepsilon_0 (permissividade do vácuo) e h (constante de Planck).

Passo 2

Estabelecer as equações básicas do modelo de Bohr para órbita circular:
  1. Equilíbrio entre força elétrica (Coulomb) e força centrípeta:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=\frac{m v^2}{r}.
Explicação: o lado esquerdo é a magnitude da força de atração entre o próton e o elétron (lei de Coulomb). O lado direito é a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita circular de raio r com velocidade v. Aqui r é o raio da órbita e v é a velocidade do elétron nessa órbita.
  1. Quantização do momento angular (hipótese de Bohr):
m v r = n \hbar,
com \hbar=\dfrac{h}{2\pi} e n\in\mathbb{N} (número quântico principal: n=1,2,3,\dots).
Explicação: Bohr postulou que o momento angular do elétron só pode assumir valores inteiros de \hbar.

Passo 3

Achar o raio r_n da órbita de número quântico n.
Da quantização: v = \dfrac{n\hbar}{m r}. Substituir esse v na equação do equilíbrio:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^2.
Simplificar o lado direito:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=\frac{n^2\hbar^2}{m r^3}.
Multiplicar ambos os lados por r^3 e resolver para r:
n^2\hbar^2 = m\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} e^2 r.
r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{m e^2}.
Explicação: essa é a fórmula do raio de Bohr generalizada para o nível n. Para n=1 recupera-se o raio de Bohr a_0.

Passo 4

Calcular a energia total E_n do elétron na órbita n.
A energia total é a soma da energia cinética K e da energia potencial elétrica U:
E = K + U.
A energia cinética é K=\dfrac{1}{2} m v^2. Da equação de equilíbrio já temos m v^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}. Logo
K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r} = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}.
A energia potencial elétrica (no potencial de Coulomb, escolhendo U\to0 em r\to\infty) é
U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}.
Somando:
E_n = K+U = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n} = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n}.
Agora substituímos r_n obtido no Passo 3:
\frac{1}{r_n} = \frac{m e^2}{4\pi\varepsilon_0 \, n^2 \hbar^2}.
Portanto
E_n = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_0} e^2 \cdot \frac{m e^2}{4\pi\varepsilon_0 \, n^2 \hbar^2}.
Multiplicando constantes:
E_n = -\frac{m e^4}{32 \pi^2 \varepsilon_0^2 \, n^2 \hbar^2}.
Usando \hbar^2 = \dfrac{h^2}{4\pi^2} (porque \hbar = h/(2\pi)) obtemos
E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 \, h^2}\cdot\frac{1}{n^2}.
Explicação: essa é a forma usual das energias dos níveis de Bohr; o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo.

Passo 5

Determinar a energia do fóton emitido na transição n\to n-1 e, a partir disso, a frequência v.
A energia do fóton é a diferença entre a energia inicial e a final:
\Delta E = E_{n-1}-E_n.
Como E_n é negativo e cresce (em valor absoluto diminui) com n, a energia liberada \Delta E é positiva para (n\to n-1). Substituindo a expressão de E_n:
\Delta E = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\left(\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}\right).
Aqui repare no sinal: E_{n-1} é mais negativo (menor n) que E_n, então E_{n-1}-E_n é positivo. Para ficar explícito, podemos escrever
\Delta E = \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\left(\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}\right).
Pela relação fóton E=h v, temos
v=\frac{\Delta E}{h}=\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3}\left(\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}\right).

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica do colchete para obter a forma solicitada. Calcule a diferença:
\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-(n-1)^2}{(n-1)^2 n^2}.
Expandindo (n-1)^2:
(n-1)^2 = n^2 - 2n +1,
então o numerador fica
n^2 - (n^2 - 2n +1) = 2n - 1.
Logo
\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{2n-1}{(n-1)^2 n^2}.
Substituindo essa expressão em v do Passo 5 obtemos exatamente
v=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left[\frac{2 n-1}{(n-1)^{2} n^{2}}\right],
que é a fórmula pedida.

Resposta

v=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left[\frac{2 n-1}{(n-1)^{2} n^{2}}\right]

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