Mostre que, na teoria de Bohr, a frequência (
) do fóton emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio (
) faz uma transição de uma órbita com número quântico n para uma órbita de número quântico
é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na teoria de Bohr, a frequência
do fóton emitido quando um elétron de um átomo de hidrogênio (
) faz a transição de uma órbita com número quântico
para a órbita com número quântico
é dada por
Informações relevantes fornecidas / que usaremos:
- O átomo é hidrogênio, logo a carga do núcleo é
(ou seja, ). - Usaremos as hipóteses de Bohr: equilíbrio entre força coulombiana e força centrípeta e quantização do momento angular.
- Constantes que aparecem:
(massa do elétron), (carga elementar), (permissividade do vácuo) e (constante de Planck).
Passo 2
Estabelecer as equações básicas do modelo de Bohr para órbita circular:
- Equilíbrio entre força elétrica (Coulomb) e força centrípeta:
Explicação: o lado esquerdo é a magnitude da força de atração entre o próton e o elétron (lei de Coulomb). O lado direito é a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita circular de raio
com velocidade
. Aqui
é o raio da órbita e
é a velocidade do elétron nessa órbita.
- Quantização do momento angular (hipótese de Bohr):
com
e
(número quântico principal:
).
Explicação: Bohr postulou que o momento angular do elétron só pode assumir valores inteiros de .
Explicação: Bohr postulou que o momento angular do elétron só pode assumir valores inteiros de
Passo 3
Achar o raio
da órbita de número quântico
.
Da quantização: . Substituir esse
na equação do equilíbrio:
Da quantização:
Simplificar o lado direito:
Multiplicar ambos os lados por
e resolver para
:
Explicação: essa é a fórmula do raio de Bohr generalizada para o nível
. Para
recupera-se o raio de Bohr
.
Passo 4
Calcular a energia total
do elétron na órbita
.
A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial elétrica
:
A energia total é a soma da energia cinética
A energia cinética é
. Da equação de equilíbrio já temos
. Logo
A energia potencial elétrica (no potencial de Coulomb, escolhendo
em
) é
Somando:
Agora substituímos
obtido no Passo 3:
Portanto
Multiplicando constantes:
Usando
(porque
) obtemos
Explicação: essa é a forma usual das energias dos níveis de Bohr; o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo.
Passo 5
Determinar a energia do fóton emitido na transição
e, a partir disso, a frequência
.
A energia do fóton é a diferença entre a energia inicial e a final:
A energia do fóton é a diferença entre a energia inicial e a final:
Como
é negativo e cresce (em valor absoluto diminui) com
, a energia liberada
é positiva para
. Substituindo a expressão de
:
Aqui repare no sinal:
é mais negativo (menor
) que
, então
é positivo. Para ficar explícito, podemos escrever
Pela relação fóton
, temos
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica do colchete para obter a forma solicitada. Calcule a diferença:
Expandindo
:
então o numerador fica
Logo
Substituindo essa expressão em
do Passo 5 obtemos exatamente
que é a fórmula pedida.