Explicar a interferência de duas ondas eletromagnéticas na região visível emitida por dois lasers de \lambda=650 \mathrm{~nm} de diferentes intensidades I_{1} e I_{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede uma explicação de como duas ondas eletromagnéticas visíveis (dois lasers) interferem quando têm comprimento de onda \lambda=650\\ \mathrm{nm} e intensidades diferentes \,I_{1} e \,I_{2}.
  • Dados fornecidos: \lambda=650\\ \mathrm{nm}, \,I_{1} e \,I_{2}.
  • Perguntas implícitas que devemos responder na explicação: como somam os campos, qual a expressão da intensidade resultante, quando há máximos e mínimos (condições de construtiva/destrutiva), como a diferença de fase se relaciona com diferença de caminho, efeito da polarização e da coerência, e como medir contraste (visibilidade) das franjas.

Passo 2

Modelo matemático das duas ondas e conceito de amplitude e fase
  • Uma onda eletromagnética monocromática pode ser descrita pelo campo elétrico (numa direção conveniente) como
E_1(t)=A_1\cos\bigl(kx-\omega t+\phi_1\bigr)
e
E_2(t)=A_2\cos\bigl(kx-\omega t+\phi_2\bigr).
Expliquei cada símbolo:
  • \,A_1 e \,A_2 são as amplitudes dos campos elétricos (medidas em V/m).
  • k=\dfrac{2\pi}{\lambda} é o número de onda.
  • \omega é a frequência angular (não precisamos do valor numérico aqui).
  • \phi_1 e \phi_2 são fases iniciais; a diferença \Delta\varphi=\phi_2-\phi_1 controla interferência.
  • Importante: a intensidade óptica de cada feixe (potência por área) está relacionada com a amplitude do campo por
I=\frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,A^2,
onde c é a velocidade da luz e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo. Assim a amplitude está ligada à intensidade por
A=\sqrt{\dfrac{2I}{c\varepsilon_0}}.
Na prática para combinar dois feixes, podemos usar que A\propto\sqrt{I}: amplitudes são proporcionais às raízes das intensidades.

Passo 3

Soma dos campos e cálculo da intensidade média resultante
  • Os campos elétricos somam vetorialmente: E(t)=E_1(t)+E_2(t).
  • Usando identidades trigonométricas e tomando a intensidade mensurada como a média temporal da energia eletromagnética proporcional a E^2, temos (o passo técnico):
    1. Expresse E_1 e E_2 como cossenos com mesma frequência.
    2. Calcule E^2(t)=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2.
    3. Faça média temporal: \langle\cos^2\rangle=1/2 e \langle\cos(\dots)\cos(\dots)\rangle=\tfrac{1}{2}\cos(\Delta\varphi).
  • O resultado (mostrando a dependência das intensidades) é
I=\;I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos(\Delta\varphi).
Aqui \Delta\varphi é a diferença de fase entre as ondas no ponto considerado (pode incluir diferença inicial de fase e diferença de caminho). Esta fórmula é a peça central: a intensidade não é simplesmente soma — há um termo de interferência que pode aumentar ou diminuir a intensidade dependendo de \cos(\Delta\varphi).

Passo 4

Relação entre diferença de fase e diferença de caminho; máximos e mínimos
  • A diferença de fase devida a uma diferença de caminho \Delta x é
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x+\Delta\phi_0,
onde \Delta\phi_0 é qualquer diferença de fase inicial.
  • Condições para máximos (interferência construtiva) e mínimos (interferência destrutiva):
    • Máximo (construtivo): \Delta\varphi=2\pi m com m\in\mathbb{Z}, o que equivale a \Delta x=m\lambda.
    • Mínimo (destrutivo): \Delta\varphi=(2m+1)\pi, o que equivale a \Delta x=(m+\tfrac{1}{2})\lambda.
  • Em termos práticos: varrendo \Delta x (ou movendo a tela/feixe), você verá franjas espaçadas por \lambda em diferença de caminho; para dois feixes inclinados com ângulo \theta entre si a separação de franjas na tela é aprox.
d\approx\frac{\lambda}{\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{\theta}\quad(\text{para }\theta\ll1).

Passo 5

Valores máximos e mínimos da intensidade e visibilidade (contraste)
  • A intensidade máxima ocorre quando \cos(\Delta\varphi)=+1, a mínima quando \cos(\Delta\varphi)=-1. Assim
I_{\max}=\;I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}=\bigl(\sqrt{I_{1}}+\sqrt{I_{2}}\bigr)^2,
I_{\min}=\;I_{1}+I_{2}-2\sqrt{I_{1}I_{2}}=\bigl(\sqrt{I_{1}}-\sqrt{I_{2}}\bigr)^2.
  • O contraste (visibilidade) das franjas é definido por
V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\frac{2\sqrt{I_{1}I_{2}}}{I_{1}+I_{2}}.
Interpretação: se I_1=I_2 então V=1 (contraste máximo, franjas bem nítidas). Se uma intensidade é muito maior que a outra, V fica pequena (franjas fracas).

Passo 6

Efeito da polarização e coerência — quando a fórmula vale ou deixa de valer
  • Polarização: as manifestações acima assumem que os campos têm a mesma direção de polarização. Se as polarizações forem diferentes, a amplitude do termo de interferência é reduzida pelo produto escalar dos vetores unitários de polarização \hat{e}_1\cdot\hat{e}_2=\cos\alpha, onde \alpha é o ângulo entre polarizações. A fórmula generalizada é
I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\,(\hat{e}_1\cdot\hat{e}_2)\cos(\Delta\varphi).
Se \alpha=90^\circ (polarizações ortogonais) então \hat{e}_1\cdot\hat{e}_2=0 e não há termo de interferência (somente soma de intensidades).
  • Coerência: para aparecer interferência mensurável a diferença de fase \Delta\varphi precisa ser estável durante o tempo de medição. Isso exige coerência temporal (comprimento de coerência maior que a diferença de caminho) e coerência de frequência (as fontes têm que ter frequências muito próximas ou ser phase-locked). Dois lasers independentes e livres podem não ser coerentes o suficiente, e aí o termo médio \langle\cos(\Delta\varphi)\rangle tende a zero, reduzindo a intensidade média a I=I_1+I_2.

Passo 7

Como aplicar isso numa prova passo a passo (receita rápida)
  1. Identifique I_1 e I_2 dados.
  2. Verifique polarizações e coerência: se polarizações diferentes, inclua \hat{e}_1\cdot\hat{e}_2; se fontes não coerentes, use I=I_1+I_2.
  3. Use a fórmula principal
I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\Delta\varphi)
para calcular I em cada ponto (colocando \Delta\varphi=\tfrac{2\pi}{\lambda}\Delta x+\Delta\phi_0).
4. Calcule I_{\max}, I_{\min} e a visibilidade V se pedir contraste.
5. Para franjas espaciais, relacione \Delta\varphi a \Delta x e encontre posições de máximos/minimos.

Passo 8

Exemplo rápido numérico para fixar (aplicando as fórmulas)
  • Suponha I_1=I_0 e I_2=I_0 (iguais). Então usando a fórmula,
I_{\max}=4I_0,\qquad I_{\min}=0,\qquad V=1.
  • Se I_1=I_0 e I_2=0{,}25I_0, então
V=\frac{2\sqrt{1\cdot0{,}25}}{1+0{,}25}=\frac{2\cdot0{,}5}{1{,}25}=0{,}8.
Isso mostra como desigualdade de intensidades reduz contraste.

Resposta

I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos(\Delta\varphi)
I_{\max}=\bigl(\sqrt{I_{1}}+\sqrt{I_{2}}\bigr)^2,\qquad I_{\min}=\bigl(\sqrt{I_{1}}-\sqrt{I_{2}}\bigr)^2
V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\frac{2\sqrt{I_{1}I_{2}}}{I_{1}+I_{2}}
Condições: \Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta x+\Delta\phi_0; máximos quando \Delta\varphi=2\pi m, mínimos quando \Delta\varphi=(2m+1)\pi. Se polarizações diferem, multiplique o termo de interferência por \hat{e}_1\cdot\hat{e}_2=\cos\alpha. Se não houver coerência temporal entre os lasers, o termo oscilante se anula e I=I_1+I_2.

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