Explicar a interferência de duas ondas eletromagnéticas na região visível emitida por dois lasers de
de diferentes intensidades
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede uma explicação de como duas ondas eletromagnéticas visíveis (dois lasers) interferem quando têm comprimento de onda
e intensidades diferentes e . - Dados fornecidos:
, e . - Perguntas implícitas que devemos responder na explicação: como somam os campos, qual a expressão da intensidade resultante, quando há máximos e mínimos (condições de construtiva/destrutiva), como a diferença de fase se relaciona com diferença de caminho, efeito da polarização e da coerência, e como medir contraste (visibilidade) das franjas.
Passo 2
Modelo matemático das duas ondas e conceito de amplitude e fase
- Uma onda eletromagnética monocromática pode ser descrita pelo campo elétrico (numa direção conveniente) como
e
Expliquei cada símbolo:
-
e são as amplitudes dos campos elétricos (medidas em V/m). -
é o número de onda. -
é a frequência angular (não precisamos do valor numérico aqui). -
e são fases iniciais; a diferença controla interferência. - Importante: a intensidade óptica de cada feixe (potência por área) está relacionada com a amplitude do campo por
onde
é a velocidade da luz e
a permissividade do vácuo. Assim a amplitude está ligada à intensidade por
Na prática para combinar dois feixes, podemos usar que
: amplitudes são proporcionais às raízes das intensidades.
Passo 3
Soma dos campos e cálculo da intensidade média resultante
- Os campos elétricos somam vetorialmente:
. - Usando identidades trigonométricas e tomando a intensidade mensurada como a média temporal da energia eletromagnética proporcional a
, temos (o passo técnico): - Expresse
e como cossenos com mesma frequência. - Calcule
. - Faça média temporal:
e .
- Expresse
- O resultado (mostrando a dependência das intensidades) é
Aqui
é a diferença de fase entre as ondas no ponto considerado (pode incluir diferença inicial de fase e diferença de caminho). Esta fórmula é a peça central: a intensidade não é simplesmente soma — há um termo de interferência que pode aumentar ou diminuir a intensidade dependendo de
.
Passo 4
Relação entre diferença de fase e diferença de caminho; máximos e mínimos
- A diferença de fase devida a uma diferença de caminho
é
onde
é qualquer diferença de fase inicial.
- Condições para máximos (interferência construtiva) e mínimos (interferência destrutiva):
- Máximo (construtivo):
com , o que equivale a . - Mínimo (destrutivo):
, o que equivale a .
- Máximo (construtivo):
- Em termos práticos: varrendo
(ou movendo a tela/feixe), você verá franjas espaçadas por em diferença de caminho; para dois feixes inclinados com ângulo entre si a separação de franjas na tela é aprox.
Passo 5
Valores máximos e mínimos da intensidade e visibilidade (contraste)
- A intensidade máxima ocorre quando
, a mínima quando . Assim
- O contraste (visibilidade) das franjas é definido por
Interpretação: se
então
(contraste máximo, franjas bem nítidas). Se uma intensidade é muito maior que a outra,
fica pequena (franjas fracas).
Passo 6
Efeito da polarização e coerência — quando a fórmula vale ou deixa de valer
- Polarização: as manifestações acima assumem que os campos têm a mesma direção de polarização. Se as polarizações forem diferentes, a amplitude do termo de interferência é reduzida pelo produto escalar dos vetores unitários de polarização
, onde é o ângulo entre polarizações. A fórmula generalizada é
Se
(polarizações ortogonais) então
e não há termo de interferência (somente soma de intensidades).
- Coerência: para aparecer interferência mensurável a diferença de fase
precisa ser estável durante o tempo de medição. Isso exige coerência temporal (comprimento de coerência maior que a diferença de caminho) e coerência de frequência (as fontes têm que ter frequências muito próximas ou ser phase-locked). Dois lasers independentes e livres podem não ser coerentes o suficiente, e aí o termo médio tende a zero, reduzindo a intensidade média a .
Passo 7
Como aplicar isso numa prova passo a passo (receita rápida)
- Identifique
e dados. - Verifique polarizações e coerência: se polarizações diferentes, inclua
; se fontes não coerentes, use . - Use a fórmula principal
para calcular
em cada ponto (colocando
).
4. Calcule ,
e a visibilidade
se pedir contraste.
5. Para franjas espaciais, relacione a
e encontre posições de máximos/minimos.
4. Calcule
5. Para franjas espaciais, relacione
Passo 8
Exemplo rápido numérico para fixar (aplicando as fórmulas)
- Suponha
e (iguais). Então usando a fórmula,
- Se
e , então
Isso mostra como desigualdade de intensidades reduz contraste.
Resposta
Condições:
; máximos quando
, mínimos quando
. Se polarizações diferem, multiplique o termo de interferência por
. Se não houver coerência temporal entre os lasers, o termo oscilante se anula e
.