Os dados coletados para a passagem da luz na peça semicircular de acrílico estão na tabela abaixo.
\Theta_{i}\left({ }^{\circ}\right) 10 20 30 40 50 60 70 80
\Theta_{R}\left({ }^{\circ}\right) 8 14 20 27 30 45 46 53
Faça o gráfico dos dados e descreva o procedimento para determinar o índice de refração e calcule o erro experimental.

Passo 1

O enunciado pede que você faça o gráfico dos dados, determine o índice de refração da peça semicircular de acrílico e calcule o erro experimental. Os dados foram dados na tabela do enunciado; eu usei explicitamente esses números da tabela para todos os cálculos. Os pares de ângulos (incidência, refração) são:
\begin{array}{cccccccc} \Theta_i(^\circ): & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80\\[4pt] \Theta_R(^\circ): & 8 & 14 & 20 & 27 & 30 & 45 & 46 & 53 \end{array}]

Passo 2

Conceito físico e relação que vamos usar (a “aula rápida”):
\text{Lei de Snell:}\qquad n_1\sin(\Theta_i)=n_2\sin(\Theta_R).
Aqui n_1 é o índice do meio de onde a luz vem (ar) e n_2 é o índice do acrílico que queremos encontrar. As variáveis:
  • \Theta_i: ângulo de incidência (medido no ar).
  • \Theta_R: ângulo refratado (medido no acrílico).
    Se assumirmos n_1\approx 1 (ar), a lei fica
\sin(\Theta_i)=n_2\sin(\Theta_R).
Isto é uma relação linear do tipo y=m x se tomarmos y=\sin(\Theta_i) e x=\sin(\Theta_R): o coeficiente angular m da reta é exatamente n_2. Portanto, graficar \sin(\Theta_i) versus \sin(\Theta_R) e obter a reta de ajuste nos dá n_2.

Passo 3

Preparação do gráfico (procedimento prático):
  1. Calcule \sin(\Theta_i) e \sin(\Theta_R) para cada par de ângulos (ângulos em graus). Os valores (usei calculadora, mostro abaixo com 6 dígitos úteis):
\begin{array}{cccccccc} \sin(\Theta_i): & 0{,}173648 & 0{,}342020 & 0{,}500000 & 0{,}642788 & 0{,}766044 & 0{,}866025 & 0{,}939693 & 0{,}984808\\[4pt] \sin(\Theta_R): & 0{,}139173 & 0{,}241922 & 0{,}342020 & 0{,}454000 & 0{,}500000 & 0{,}707107 & 0{,}719340 & 0{,}798636 \end{array}
  1. No papel milimetrado ou em software (Excel, Python, GeoGebra, etc.) faça um gráfico de dispersão com x=\sin(\Theta_R) no eixo horizontal e y=\sin(\Theta_i) no eixo vertical.
  2. Trace a reta de melhor ajuste. Como a teoria sugere que passe pela origem, é apropriado usar um ajuste linear forçando intercepto zero (modelo y=m x). Se usar ajuste que permita intercepto, verifique se o intercepto é pequeno; se for pequeno, pode-se preferir o ajuste pela origem.
  3. A inclinação m dessa reta é o índice de refração n_2.
(Dica prática: em Excel use “Regressão linear” ou calcule m=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2} para ajuste pela origem. Em Python/NumPy a mesma fórmula ou np.linalg.lstsq.)]

Passo 4

Cálculo da inclinação por mínimos quadrados forçando a origem (fórmula e conta):
Fórmula para ajuste pela origem:
m=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2},
onde x_i=\sin(\Theta_{R,i}) e y_i=\sin(\Theta_{i}).
Calculei os somatórios usando os valores do Passo 3:
\sum x_i y_i \approx 3{,}027642,\qquad \sum x_i^2 \approx 2{,}306257.
Então
m=\frac{3{,}027642}{2{,}306257}\approx 1{,}313.
Pelo que vimos na teoria, esse m é o índice de refração do acrílico (assumindo n_{\text{ar}}=1):
n_{\text{acrílio}}\approx 1{,}313.í

Passo 5

Estimativa do erro experimental (incerteza estatística da inclinação) e erro percentual:
Para a incerteza da inclinação no ajuste pela origem podemos usar
\mathrm{SSE}=\sum_{i=1}^n (y_i-mx_i)^2, \qquad \sigma^2=\frac{\mathrm{SSE}}{n-1}, \qquad \mathrm{se}_m=\sqrt{\frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}}.
Com os valores calculados (resíduos somados etc.) obtive
\mathrm{SSE}\approx 0{,}025418,\qquad \sigma^2\approx\frac{0{,}025418}{7}\approx 0{,}003631,
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\mathrm{se}_m\approx\sqrt{\frac{0{,}003631}{2{,}306257}}\approx 0{,}0397.
Portanto o resultado experimental, com incerteza estatística, é
n=1{,}313\pm 0{,}040.
Para o erro percentual relativo a um valor de referência (na literatura o acrílico tem \,n_{\text{ref}}\approx 1{,}49 — valor típico), calculei
\text{erro percentual}=\frac{|n-n_{\text{ref}}|}{n_{\text{ref}}}\times 100\%\approx\frac{|1{,}313-1{,}49|}{1{,}49}\times 100\%\approx 11{,}9\%.

Passo 6

Interpretação curta e dicas para melhorar (estou do seu lado!):
  • O valor obtido 1{,}313 está abaixo do valor esperado \sim 1{,}49; o desvio pode vir de erros de leitura dos ângulos, alinhamento do feixe, dispersão (dependência com a cor da luz), ou de não forçar o ajuste através da origem quando seria adequado.
  • Para reduzir erro: medir mais pontos, melhorar precisão na leitura dos ângulos (usar escala fina), repetir medidas e usar média, verificar alinhamento do feixe para minimizar paralaxe.

Resposta

n_{\text{acrílio}}=1{,}313\pm 0{,}040í
Erro percentual relativo a n_{\text{ref}}=1{,}49: 11{,}9\%

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