Os dados coletados para a passagem da luz na peça semicircular de acrílico estão na tabela abaixo.
10
20
30
40
50
60
70
80
8
14
20
27
30
45
46
53
Faça o gráfico dos dados e descreva o procedimento para determinar o índice de refração e calcule o erro experimental.
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10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
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8 | 14 | 20 | 27 | 30 | 45 | 46 | 53 |
Passo 1
O enunciado pede que você faça o gráfico dos dados, determine o índice de refração da peça semicircular de acrílico e calcule o erro experimental. Os dados foram dados na tabela do enunciado; eu usei explicitamente esses números da tabela para todos os cálculos. Os pares de ângulos (incidência, refração) são:
Passo 2
Conceito físico e relação que vamos usar (a “aula rápida”):
Aqui
é o índice do meio de onde a luz vem (ar) e
é o índice do acrílico que queremos encontrar. As variáveis:
-
: ângulo de incidência (medido no ar). -
: ângulo refratado (medido no acrílico).
Se assumirmos(ar), a lei fica
Isto é uma relação linear do tipo
se tomarmos
e
: o coeficiente angular
da reta é exatamente
. Portanto, graficar
versus
e obter a reta de ajuste nos dá
.
Passo 3
Preparação do gráfico (procedimento prático):
- Calcule
e para cada par de ângulos (ângulos em graus). Os valores (usei calculadora, mostro abaixo com 6 dígitos úteis):
- No papel milimetrado ou em software (Excel, Python, GeoGebra, etc.) faça um gráfico de dispersão com
no eixo horizontal e no eixo vertical. - Trace a reta de melhor ajuste. Como a teoria sugere que passe pela origem, é apropriado usar um ajuste linear forçando intercepto zero (modelo
). Se usar ajuste que permita intercepto, verifique se o intercepto é pequeno; se for pequeno, pode-se preferir o ajuste pela origem. - A inclinação
dessa reta é o índice de refração .
(Dica prática: em Excel use “Regressão linear” ou calcule
para ajuste pela origem. Em Python/NumPy a mesma fórmula ou np.linalg.lstsq.)]
Passo 4
Cálculo da inclinação por mínimos quadrados forçando a origem (fórmula e conta):
Fórmula para ajuste pela origem:
Fórmula para ajuste pela origem:
onde
e
.
Calculei os somatórios usando os valores do Passo 3:
Então
Pelo que vimos na teoria, esse
é o índice de refração do acrílico (assumindo
):
Passo 5
Estimativa do erro experimental (incerteza estatística da inclinação) e erro percentual:
Para a incerteza da inclinação no ajuste pela origem podemos usar
Para a incerteza da inclinação no ajuste pela origem podemos usar
Com os valores calculados (resíduos somados etc.) obtive
logo
Portanto o resultado experimental, com incerteza estatística, é
Para o erro percentual relativo a um valor de referência (na literatura o acrílico tem
— valor típico), calculei
Passo 6
Interpretação curta e dicas para melhorar (estou do seu lado!):
- O valor obtido
está abaixo do valor esperado ; o desvio pode vir de erros de leitura dos ângulos, alinhamento do feixe, dispersão (dependência com a cor da luz), ou de não forçar o ajuste através da origem quando seria adequado. - Para reduzir erro: medir mais pontos, melhorar precisão na leitura dos ângulos (usar escala fina), repetir medidas e usar média, verificar alinhamento do feixe para minimizar paralaxe.
Resposta
Erro percentual relativo a