QUESTÃO 17: Uma pedra de gelo de 100 g à -13,0^{\circ} \mathrm{C} é lançada em um rio cuja temperatura da água é igual a 27,0^{\circ} \mathrm{C}. Determine a variação de entropia do sistema gelo-rio.
Dados: calor específico do gelo: 2174 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}); calor específico da água: 4180 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}); calor latente de fusão do gelo: 334 \mathrm{~kJ} / \mathrm{Kg}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a variação de entropia do sistema “gelo + rio” quando uma pedra de gelo é lançada no rio. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
m=0{,}100\\ \mathrm{kg} (massa do gelo)
Temperatura inicial do gelo: -13{,}0^\circ\mathrm{C}
Temperatura do rio (reservatório): 27{,}0^\circ\mathrm{C}
Calores específicos e calor latente (dados do enunciado):
c_{\text{gelo}} = 2174\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}
c_{\text{água}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}á
L_f = 334\\ \mathrm{kJ/kg} = 334000\\ \mathrm{J/kg}
Observações numéricas importantes (conversão para Kelvin):
T_{i,\text{gelo}} = -13{,}0^\circ\mathrm{C} = 260{,}15\\ \mathrm{K}
T_{fus\,(0^\circ\mathrm{C})} = 0{,}0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}
T_{\text{rio}} = 27{,}0^\circ\mathrm{C} = 300{,}15\\ \mathrm{K}
O que vai acontecer fisicamente (sem calcular ainda): o gelo é aquecido de -13{,}0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, funde (a 0^\circ\mathrm{C}) e o resultado (água) é aquecido até 27{,}0^\circ\mathrm{C}, perdendo calor o rio. A pergunta pede a variação de entropia do sistema inteiro (gelo + rio).

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicando bem): a entropia é uma grandeza que, para uma troca de calor reversível infinitesimal dQ_{\text{rev}} a uma temperatura T, tem diferencial
dS=\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Para aquecimento (ou resfriamento) de uma substância com calor específico c e massa m, o calor reversível trocado ao variar a temperatura de T_1 para T_2 é Q=\int m c\,dT. Logo a variação de entropia é
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2}\frac{m c\,dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui T_1 e T_2 são temperaturas absolutas (Kelvin). Para uma mudança de fase ocorrendo a temperatura constante T_{\text{fase}} (por exemplo fusão a 0^\circ\mathrm{C}), a variação de entropia associada ao calor latente Q=mL é
\Delta S = \frac{Q}{T_{\text{fase}}} = \frac{m L}{T_{\text{fase}}}.
No caso do rio, como ele é muito grande (reservatório) e sua temperatura permanece praticamente constante em T_{\text{rio}}, a variação de entropia do rio será simplesmente \Delta S_{\text{rio}} = -\dfrac{Q_{\text{recebido\\ pelo\\ gelo}}}{T_{\text{rio}}} (sinal negativo porque o rio perde calor).
Vamos calcular: (a) \Delta S do gelo ao aquecer de -13^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}; (b) \Delta S da fusão; (c) \Delta S do aquecimento da água resultante de 0^\circ\mathrm{C} a 27^\circ\mathrm{C}; (d) \Delta S do rio; (e) soma para o sistema.

Passo 3

Cálculo da variação de entropia ao aquecer o gelo sólido de -13{,}0^\circ\mathrm{C} ( 260{,}15\\ \mathrm{K}) até 0{,}0^\circ\mathrm{C} ( 273{,}15\\ \mathrm{K}):
Usamos
\Delta S_1 = m c_{\text{gelo}} \ln\!\left(\frac{T_{fus}}{T_{i,\text{gelo}}}\right).
Substituindo os valores:
\Delta S_1 = 0{,}100\cdot 2174 \cdot \ln\!\left(\frac{273{,}15}{260{,}15}\right).
Vamos calcular passo a passo (faça assim na prova sem calculadora aproximando logaritmos se precisar, aqui eu mostro o valor numérico): primeiro o produto m c_{\text{gelo}} = 0{,}100\cdot 2174 = 217{,}4\\ \mathrm{J/K}. A razão das temperaturas é \dfrac{273{,}15}{260{,}15}\approx 1{,}05. O logaritmo natural \ln(1{,}05)\approx 0{,}04879. Assim
\Delta S_1 \approx 217{,}4 \times 0{,}04879 \approx 10{,}6\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Cálculo da variação de entropia associada à fusão do gelo (a 0{,}0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}):
Usamos
\Delta S_2 = \frac{m L_f}{T_{fus}}.
Substituindo:
\Delta S_2 = \frac{0{,}100\cdot 334000}{273{,}15}.
Calculemos: 0{,}100\cdot 334000 = 33400\\ \mathrm{J}. Então
\Delta S_2 \approx \frac{33400}{273{,}15} \approx 122{,}3\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia ao aquecer a água resultante de 0{,}0^\circ\mathrm{C} ( 273{,}15\\ \mathrm{K}) até 27{,}0^\circ\mathrm{C} ( 300{,}15\\ \mathrm{K}):
Usamos
\Delta S_3 = m c_{\text{água}} \ln\!\left(\frac{T_{\text{final}}}{T_{fus}}\right).á
Substituindo:
\Delta S_3 = 0{,}100\cdot 4180 \cdot \ln\!\left(\frac{300{,}15}{273{,}15}\right).
Calcule: m c_{\text{água}} = 0{,}100\cdot 4180 = 418\\ \mathrm{J/K}á. A razão 300{,}15/273{,}15\approx 1{,}099. \ln(1{,}099)\approx 0{,}09453. Logo
\Delta S_3 \approx 418 \times 0{,}09453 \approx 39{,}5\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Somando as contribuições da pedra/gelo (aquecimento sólido + fusão + aquecimento da água) obtemos a variação de entropia do bloco que começou como gelo:
\Delta S_{\text{gelo}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3.
Usando os valores numéricos:
\Delta S_{\text{gelo}} \approx 10{,}6 + 122{,}3 + 39{,}5 = 172{,}4\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Agora calculamos o calor total absorvido pelo gelo (que é o calor perdido pelo rio). Isso serve para a entropia do rio, que está a temperatura constante T_{\text{rio}}=300{,}15\\ \mathrm{K}.
Calores individuais:
Q_1 = m c_{\text{gelo}} (T_{fus}-T_{i,\text{gelo}}) = 0{,}100\cdot 2174 \cdot (273{,}15-260{,}15)=2826{,}2\\ \mathrm{J}.
Q_2 = m L_f = 0{,}100\cdot 334000 = 33400\\ \mathrm{J}.
Q_3 = m c_{\text{água}} (T_{\text{rio}}-T_{fus}) = 0{,}100\cdot 4180 \cdot (300{,}15-273{,}15)=11286{,}0\\ \mathrm{J}.á
Somando:
Q_{\text{total}} = Q_1+Q_2+Q_3 \approx 2826{,}2 + 33400 + 11286{,}0 = 47512{,}2\\ \mathrm{J}.
A variação de entropia do rio (perdendo esse calor a temperatura constante) é
\Delta S_{\text{rio}} = -\frac{Q_{\text{total}}}{T_{\text{rio}}} = -\frac{47512{,}2}{300{,}15} \approx -158{,}3\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Variação total de entropia do sistema “gelo + rio” é a soma das variações das partes:
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_{\text{gelo}} + \Delta S_{\text{rio}}.
Substituindo os valores obtidos:
\Delta S_{\text{sistema}} \approx 172{,}4 + (-158{,}3) = 14{,}1\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação rápida e encorajamento: o resultado é positivo ( \approx 14{,}1\\ \mathrm{J/K}), o que está de acordo com a segunda lei (processo espontâneo gera entropia). Beleza — foi trabalho, mas deu certo!

Resposta

\Delta S_{\text{gelo-rio}} \approx 14{,}1\\ \mathrm{J/K}

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