Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A função a ser analisada é o produto de uma expressão polinomial
e a função exponencial . - O ponto de interesse para o limite é
.
O que se pede: calcular o valor numérico do limite.
Passo 2
Vou listar e explicitar os teoremas e propriedades que vou usar (com explicações simples e suficientes para entender a aplicação):
- Teorema (Leis de limite — soma, produto e composição): Se
e existem e são finitos, então Além disso, se é contínua em , então Intuição: limites “passam” através de soma e produto quando os limites existem; composição funciona quando a função exterior é contínua no valor limite interior. - Teorema (Continuidade de polinômios): Todo polinômio
é contínuo em todo ponto real; portanto para todo . Razoamento curto: polinômios são obtidos por soma e produto das funções e constantes, que são contínuas, e soma/produto preservam continuidade. - Teorema (Continuidade da função exponencial): Para qualquer base
, a função é contínua em todo . Uma maneira prática de ver isso é escrever e usar que as funções (linear) e (continua) compõem uma função contínua. Assim .
Com esses teoremas, o plano será: avaliar separadamente os limites da parte polinomial e da exponencial em(cada uma existe e é finita), e então usar a lei do produto de limites para obter o resultado.
Passo 3
Aplicando a continuidade do polinômio
:
- Pelo teorema de continuidade de polinômios, tem-se
- Calculemos passo a passo:
Portanto
Passo 4
Aplicando a continuidade da função exponencial com base
:
- Usando
e a continuidade das funções lineares e da exponencial, temos - Calculemos
:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a lei do produto de limites (já que ambos os limites anteriores existem e são finitos). Assim
Substituindo os valores obtidos:
Opcional: em decimal,
, mas a forma fracionária
é mais exata.