Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-3}\left[\left(2 x^{2}-3 x\right) \cdot 2^{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a -3:
\lim_{x\to -3}\left[\left(2x^{2}-3x\right)\cdot 2^{x}\right].
Informações relevantes dadas:
  • A função a ser analisada é o produto de uma expressão polinomial \left(2x^{2}-3x\right) e a função exponencial \;2^{x}.
  • O ponto de interesse para o limite é x=-3.
    O que se pede: calcular o valor numérico do limite.

Passo 2

Vou listar e explicitar os teoremas e propriedades que vou usar (com explicações simples e suficientes para entender a aplicação):
  • Teorema (Leis de limite — soma, produto e composição): Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M,\qquad \lim_{x\to a} (f(x)\,g(x)) = L\,M.Além disso, se h é contínua em L, então \lim_{x\to a} h(f(x)) = h\!\big(\lim_{x\to a} f(x)\big)=h(L).Intuição: limites “passam” através de soma e produto quando os limites existem; composição funciona quando a função exterior é contínua no valor limite interior.
  • Teorema (Continuidade de polinômios): Todo polinômio P(x) é contínuo em todo ponto real; portanto \lim_{x\to a} P(x)=P(a) para todo a. Razoamento curto: polinômios são obtidos por soma e produto das funções x\mapsto x e constantes, que são contínuas, e soma/produto preservam continuidade.
  • Teorema (Continuidade da função exponencial): Para qualquer base b>0, a função x\mapsto b^{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Uma maneira prática de ver isso é escrever b^{x}=e^{x\ln b} e usar que as funções x\mapsto x\ln b (linear) e t\mapsto e^{t} (continua) compõem uma função contínua. Assim \lim_{x\to a} b^{x}=b^{a}.
    Com esses teoremas, o plano será: avaliar separadamente os limites da parte polinomial e da exponencial em x=-3 (cada uma existe e é finita), e então usar a lei do produto de limites para obter o resultado.

Passo 3

Aplicando a continuidade do polinômio \;P(x)=2x^{2}-3x:
  • Pelo teorema de continuidade de polinômios, tem-se \lim_{x\to -3} \big(2x^{2}-3x\big) = 2(-3)^{2}-3(-3).
  • Calculemos passo a passo: (-3)^{2}=9,
2\cdot 9 = 18,
-3\cdot(-3)=9,
18+9=27.
Portanto
\lim_{x\to -3} \big(2x^{2}-3x\big)=27.

Passo 4

Aplicando a continuidade da função exponencial com base 2:
  • Usando 2^{x}=e^{x\ln 2} e a continuidade das funções lineares e da exponencial, temos \lim_{x\to -3} 2^{x} = 2^{-3}.
  • Calculemos 2^{-3}: 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}.
Portanto
\lim_{x\to -3} 2^{x} = \frac{1}{8}.

Passo 5

Agora aplicamos a lei do produto de limites (já que ambos os limites anteriores existem e são finitos). Assim
\lim_{x\to -3}\left[\left(2x^{2}-3x\right)\cdot 2^{x}\right] = \left(\lim_{x\to -3} \big(2x^{2}-3x\big)\right)\cdot \left(\lim_{x\to -3} 2^{x}\right).
Substituindo os valores obtidos:
= 27 \cdot \frac{1}{8} = \frac{27}{8}.
Opcional: em decimal, \dfrac{27}{8}=3{,}375, mas a forma fracionária \dfrac{27}{8} é mais exata.

Resposta

\dfrac{27}{8}

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