Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-4} \sqrt[3]{\frac{x^{3}+6 x-20}{x+8}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to -4} \sqrt[3]{\frac{x^{3}+6x-20}{x+8}}.
Informações dadas (expressas explicitamente):
  • A função dentro da raiz cúbica é a razão de dois polinômios: numerador \,x^{3}+6x-20, e denominador \,x+8.
  • O ponto de interesse é x=-4.
    Não há imagem nem outra informação adicional.

Passo 2

Teoremas fundamentais que vamos usar (enunciados e explicação intuitiva):
  1. Teorema da continuidade de polinômios: todo polinômio p(x) é contínuo em todo ponto a; portanto
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Intuição: polinômios não têm “buracos” nem assimptotas; substituir a diretamente funciona.
  1. Regras de limite para soma, produto e quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Intuição: quando ambos os limites existem e o denominador não zera, o quociente se aproxima do quociente dos limites.
  1. Continuidade da função composta: se g é contínua em L e \lim_{x\to a} f(x)=L, então
\lim_{x\to a} g(f(x))=g(L).
No nosso caso, g(t)=\sqrt[3]{t}. A raiz cúbica é contínua em todo número real (é uma função de potência t^{1/3} com expoente ímpar), então serve o teorema da composta.

Passo 3

Aplicando o teorema da continuidade de polinômios ao numerador e denominador, calculo os valores em x=-4:
\text{numerador} = (-4)^{3}+6(-4)-20 = -64 -24 -20 = -108,
\text{denominador} = -4 + 8 = 4.
Como o denominador em x=-4 é diferente de zero ( 4\neq 0), a regra do quociente vale e
\lim_{x\to -4} \frac{x^{3}+6x-20}{x+8} = \frac{-108}{4}.

Passo 4

Simplifico a fração:
\frac{-108}{4} = -27.
Portanto o limite do quociente é -27.

Passo 5

Agora aplico o teorema da composição com g(t)=\sqrt[3]{t}, que é contínua em -27. Logo
\lim_{x\to -4} \sqrt[3]{\frac{x^{3}+6x-20}{x+8}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to -4}\frac{x^{3}+6x-20}{x+8}} = \sqrt[3]{-27}.
Para avaliar \sqrt[3]{-27}: procurar um número y tal que y^{3}=-27. Observa-se que y=-3 satisfaz (-3)^{3}=-27. Como a raiz cúbica real é única, \sqrt[3]{-27}=-3.

Resposta

-3

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