Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações dadas (expressas explicitamente):
- A função dentro da raiz cúbica é a razão de dois polinômios: numerador
, e denominador . - O ponto de interesse é
.
Não há imagem nem outra informação adicional.
Passo 2
Teoremas fundamentais que vamos usar (enunciados e explicação intuitiva):
- Teorema da continuidade de polinômios: todo polinômio
é contínuo em todo ponto ; portanto
Intuição: polinômios não têm “buracos” nem assimptotas; substituir a diretamente funciona.
- Regras de limite para soma, produto e quociente: se
e com , então
Intuição: quando ambos os limites existem e o denominador não zera, o quociente se aproxima do quociente dos limites.
- Continuidade da função composta: se
é contínua em e , então
No nosso caso,
. A raiz cúbica é contínua em todo número real (é uma função de potência
com expoente ímpar), então serve o teorema da composta.
Passo 3
Aplicando o teorema da continuidade de polinômios ao numerador e denominador, calculo os valores em
:
Como o denominador em
é diferente de zero (
), a regra do quociente vale e
Passo 4
Simplifico a fração:
Portanto o limite do quociente é
.
Passo 5
Agora aplico o teorema da composição com
, que é contínua em
. Logo
Para avaliar
: procurar um número
tal que
. Observa-se que
satisfaz
. Como a raiz cúbica real é única,
.