Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow 4}\left(3 x^{2}-4 x-5\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 4}\left(3x^{2}-4x-5\right).
Informações dadas:
  • A função cuja limite se deseja é f(x)=3x^{2}-4x-5.
  • O ponto de interesse é x\rightarrow 4.
    A pergunta é: qual é o valor numérico do limite acima?

Passo 2

Teorema (lemas básicos sobre limites): suponha que \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e são números finitos. Então valem as seguintes propriedades:
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x)\quad\text{(para constante \(c\))},
\lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\quad\text{se \(\lim_{x\to a}g(x)\neq 0\).}
Essas regras permitem calcular limites de combinações (soma, produto, constante vezes, razão) a partir dos limites das partes.

Passo 3

Teorema (continuidade de funções elementares e polinômios): a função identidade x\mapsto x é contínua em todo ponto a, e funções constantes são contínuas. Como soma e produto de funções contínuas são contínuas, qualquer polinômio é contínuo em todo ponto. Mais formalmente, se p(x) é um polinômio então, para todo a,
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Explicando por que isso vale (prova curta usando as propriedades do passo anterior):
  • \lim_{x\to a} x = a porque a identidade é contínua.
  • Para constante c, \lim_{x\to a} c = c.
  • Aplicando repetidamente as regras do passo anterior (produto por constante, soma e produto), obtém-se \lim_{x\to a} x^{2}=a^{2}, \lim_{x\to a} 3x^{2}=3a^{2}, etc.
  • Assim qualquer combinação polinomial satisfaz \lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Portanto, para o nosso caso podemos calcular o limite apenas avaliando a função no ponto x=4:
\lim_{x\rightarrow 4}\left(3x^{2}-4x-5\right)=3\cdot 4^{2}-4\cdot 4-5.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo a expressão 3\cdot 4^{2}-4\cdot 4-5.
Primeiro:
4^{2}=16.
Então:
3\cdot 4^{2}=3\cdot 16=48.
Em seguida:
4\cdot 4=16.
Agora fazemos as subtrações:
48-16=32,
32-5=27.

Passo 5

Concluímos que o limite pedido vale 27. Além disso: se aparecer outra expressão polinomial na prova, segue a mesma regra — polinômios são contínuos, então basta substituir o ponto no polinômio.

Resposta

27

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