Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função cuja limite se deseja é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor numérico do limite acima?
Passo 2
Teorema (lemas básicos sobre limites): suponha que
e
existem e são números finitos. Então valem as seguintes propriedades:
Essas regras permitem calcular limites de combinações (soma, produto, constante vezes, razão) a partir dos limites das partes.
Passo 3
Teorema (continuidade de funções elementares e polinômios): a função identidade
é contínua em todo ponto
, e funções constantes são contínuas. Como soma e produto de funções contínuas são contínuas, qualquer polinômio é contínuo em todo ponto. Mais formalmente, se
é um polinômio então, para todo
,
Explicando por que isso vale (prova curta usando as propriedades do passo anterior):
-
porque a identidade é contínua. - Para constante
, . - Aplicando repetidamente as regras do passo anterior (produto por constante, soma e produto), obtém-se
, , etc. - Assim qualquer combinação polinomial satisfaz
.
Portanto, para o nosso caso podemos calcular o limite apenas avaliando a função no ponto
:
Passo 4
Agora calculamos passo a passo a expressão
.
Primeiro:
Primeiro:
Então:
Em seguida:
Agora fazemos as subtrações:
Passo 5
Concluímos que o limite pedido vale
. Além disso: se aparecer outra expressão polinomial na prova, segue a mesma regra — polinômios são contínuos, então basta substituir o ponto no polinômio.