Explique a ação de cada uma das três componentes (proporcional, integral, derivativa) do controlador PID. Dê interpretações físicas para o tempo de integração e o tempo de derivação e relacione essas grandezas com o ganho integral e o ganho derivativo, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para explicar qualitativamente cada termo de um controlador PID — proporcional, integral e derivativo — e dar uma interpretação física para o tempo de integração T_i e o tempo de derivação T_d, além de relacionar essas constantes com os ganhos integral K_i e derivativo K_d. Para isso precisamos conhecer a forma canônica do PID em tempo contínuo:
u(t)=K_p e(t) + K_i \int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau + K_d \frac{d e(t)}{d t},
onde e(t) é o erro de regulação e K_p o ganho proporcional.

Passo 2

Proporcional:
A ação proporcional gera uma saída u_p(t)=K_p e(t) diretamente proporcional ao erro instantâneo. Fisicamente, isso equivale a aplicar uma força (ou ajuste) que cresce linearmente com a diferença entre o valor desejado e o valor medido. A vantagem é a resposta imediata, mas sozinha costuma deixar um erro em regime permanente (offset), pois para erro zero a ação proporcional também fica nula.

Passo 3

Integral:
A ação integral acumula o erro ao longo do tempo,
u_i(t)=K_i \int_{0}^{t} e(\tau)\,d\tau.
Fisicamente, integração é como um “tanque” que vai enchendo enquanto houver erro; esse acúmulo produz um esforço adicional até zerar o desvio em regime permanente. Define-se o tempo de integração T_i como
T_i = \frac{K_p}{K_i}.
Quanto menor T_i, mais rápido o integrador age (maior K_i) e mais agressiva é a eliminação do offset, mas em excesso pode gerar oscilações.

Passo 4

Derivativo:
A ação derivativa prevê a tendência do erro,
u_d(t)=K_d \frac{d e(t)}{dt}.
Fisicamente, é como um amortecedor: reage à velocidade de variação do erro, aplicando uma força contrária à sua mudança brusca, o que reduz oscilações e melhora a estabilidade. Introduzimos o tempo de derivação T_d por
T_d = \frac{K_d}{K_p}.
Maior T_d (logo maior K_d) significa ação de previsão mais intensa, mas cuidado com ruído e amplificação de altas frequências.

Resposta

Proporcional: ação instantânea u_p=K_p e, dá resposta rápida mas deixa offset.
Integral: u_i=K_i\int e, acumula erro para eliminar offset; tempo de integração T_i=K_p/K_i.
Derivativo: u_d=K_d\,de/dt, antecipa mudança do erro para amortecer oscilações; tempo de derivação T_d=K_d/K_p.

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