Considere o sistema
G(s)=\frac{K(s-a)}{s(s-b)}
em malha fechada com realimentação unitária. Encontre a faixa de valores do ganho K que garante a estabilidade da malha fechada quando:
a<0, b<0

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{K\bigl(s - a\bigr)}{s\,(s - b)}
com realimentação unitária e pede a faixa de K que garante estabilidade em malha fechada, sabendo que a<0 e b<0.

Passo 2

Em malha fechada, a equação característica vem de
1 + G(s) = 0
ou seja
1 + \frac{K(s - a)}{s\,(s - b)} = 0 \;\Longrightarrow\; s\,(s - b) + K(s - a) = 0.
Expandindo, obtemos o polinômio
s^2 - b\,s + K\,s - K\,a = 0 \;\Longrightarrow\; s^2 + (K - b)\,s \;-\; a\,K = 0.

Passo 3

Para um polinômio de segundo grau
s^2 + \alpha\,s + \beta = 0
ser estável (raízes com parte real negativa), é necessário e suficiente que \alpha>0 e \beta>0.

Passo 4

No nosso caso temos \alpha = K - b e \beta = -a\,K.
Então as condições de estabilidade são:
K - b > 0 \quad\text{e}\quad -\,a\,K > 0.
Como a<0, temos -a>0 e portanto -a\,K>0 implica K>0.
E como b<0, a desigualdade K-b>0 fica K > b, mas b sendo negativo é menos restritiva que K>0.

Resposta

A malha fechada é estável para
K > 0.

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