Para cada uma das funções de transferência em malha fechada abaixo, diga quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário:
T(s)=\frac{s+1}{s^{5}+3 s^{4}+5 s^{3}+4 s^{2}+s+3}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha fechada
T(s)=\frac{s+1}{s^{5}+3s^{4}+5s^{3}+4s^{2}+s+3}
e pede quantos polos (raízes do denominador) estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário. Para isso, vamos usar o critério de Routh–Hurwitz.

Passo 2

Montamos as duas primeiras linhas do array de Routh com os coeficientes de s^5 a s^0 em colunas alternadas:
\begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 5 & 1\\\ s^4 & 3 & 4 & 3 \end{array}

Passo 3

Calculamos as demais linhas seguindo a fórmula geral
\text{elemento} = \frac{\begin{vmatrix} \text{primeiro\;da\;linha\;acima} & \text{segundo\;da\;linha\;acima}\\\ \text{primeiro\;da\;próxima\;linha} & \text{segundo\;da\;próxima\;linha} \end{vmatrix}}{\text{primeiro\;da\;linha\;acima}}óó
Para s^3:
b_1=\frac{3\cdot5 - 1\cdot4}{3}=\frac{11}{3}, \quad b_2=\frac{3\cdot1 - 1\cdot3}{3}=0.
Para s^2:
c_1=\frac{\frac{11}{3}\cdot4 - 3\cdot0}{\tfrac{11}{3}}=4, \quad c_2=\frac{\frac{11}{3}\cdot3 - 3\cdot0}{\tfrac{11}{3}}=3.
Para s^1:
d_1=\frac{4\cdot0 - \frac{11}{3}\cdot3}{4}=-\frac{11}{4}.
Para s^0:
e_1=3.
Assim, a primeira coluna do array é
1,\;3,\;\tfrac{11}{3},\;4,\;-\tfrac{11}{4},\;3.

Passo 4

Contamos as variações de sinal na primeira coluna:
+,\;+\;,\;+\;,\;+\;,\;-\;,\;+
Há duas variações de sinal, o que indica exatamente duas raízes com parte real positiva. Não apareceu linha inteira de zeros, logo não há polos no eixo imaginário. Como o polinômio é de quinta ordem, o número de polos com parte real negativa é
5 - 2 - 0 = 3.

Resposta

Há 3 polos no semiplano esquerdo, 2 polos no semiplano direito e 0 polos no eixo imaginário.

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