Explique por que de se associar uma forma esférica ao embrião? Análise o crescimento de um embrião no seio da fase liquida sob o ponto de vista da variação da energia livre.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que um embrião de nova fase, imerso em um líquido, adota forma esférica e analisar seu crescimento sob o ponto de vista da variação da energia livre de Gibbs.
O conteúdo envolvido é a teoria da nucleação clássica, em que precisamos considerar a contribuição volumétrica (energia livre ganha ao transformar o volume) e a contribuição de interface (energia livre gasta para criar superfície).

Passo 2

A forma esférica minimiza a energia de interface para um dado volume.
Isto acontece porque, entre todas as formas geométricas com mesmo volume, a esfera é a que apresenta a menor área de superfície.
Como a energia de interface cresce proporcionalmente à área da superfície do embrião, a esfera reduz ao máximo esse custo.

Passo 3

Escrevemos a variação total de energia livre associada à formação de um núcleo esférico de raio r como a soma de duas parcelas:
\Delta G(r)\;=\;-\frac{4}{3}\pi r^{3}\,\Delta g_{v}\;+\;4\pi r^{2}\,\sigma
onde \Delta g_{v} é a diferença de energia livre por volume entre fases (positivo quando há ganho volumétrico)
e \sigma é a tensão interfacial (energia livre por área).
O primeiro termo é favorável (negativo), pois corresponde ao ganho volumétrico; o segundo é desfavorável (positivo), pois corresponde ao custo de criar interface.

Passo 4

Para achar o raio crítico r^{*} em que \Delta G(r) atinge máximo, fazemos
\frac{d\Delta G}{dr} =\,-4\pi r^{2}\,\Delta g_{v} \;+\;8\pi r\,\sigma \;=\;0
Resolvendo, obtém-se
r^{*}=\frac{2\,\sigma}{\Delta g_{v}}.
Substituindo em \Delta G(r) definimos a barreira de nucleação
\Delta G^{*} =\Delta G(r^{*}) =\frac{16\pi\,\sigma^{3}}{3\,(\Delta g_{v})^{2}}.

Passo 5

Analisando o sinal da derivada:
  • Para r<r^{*}, \frac{d\Delta G}{dr}>0, logo \Delta G aumenta ao crescer o núcleo e ele tende a desaparecer.
  • Para r>r^{*}, \frac{d\Delta G}{dr}<0, logo \Delta G cai e o núcleo cresce espontaneamente.

Resposta

A forma esférica minimiza o termo de energia de interface, reduzindo o custo para criar superfície.
A variação de energia livre de formação vale
\Delta G(r)=-\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\Delta g_{v}+4\pi r^{2}\sigma,
levando a um raio crítico
r^{*}=2\sigma/\Delta g_{v}
e a uma barreira
\Delta G^{*}=16\pi\sigma^{3}/[3(\Delta g_{v})^{2}].
Embriões com r<r^{*} dissolvem-se e com r>r^{*} crescem espontaneamente.

Exercícios relacionados